Номер 19.47, страница 211 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.47. Одна окружность описана около равностороннего треугольника $ABC$, а вторая касается прямых $AB$ и $AC$ и первой окружности. Найдите отношение радиусов этих окружностей.

Пусть $R$ — радиус первой окружности (описанной около равностороннего треугольника $ABC$), а $r$ — радиус второй окружности. Пусть центр первой окружности — $O_1$, а второй — $O_2$.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, его центр описанной окружности $O_1$ также является точкой пересечения его биссектрис. Углы треугольника равны $60^\circ$. Вторая окружность касается прямых $AB$ и $AC$, поэтому её центр $O_2$ лежит на биссектрисе угла $\angle BAC$. Следовательно, точки $A$, $O_2$ и $O_1$ лежат на одной прямой.

Расстояние от вершины $A$ до центра описанной окружности $O_1$ по определению равно радиусу этой окружности: $AO_1 = R$.

Для нахождения расстояния $AO_2$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AO_2K$, где $K$ — точка касания второй окружности с прямой $AC$. В этом треугольнике катет $O_2K = r$, а угол $\angle KAO_2 = \angle BAC / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$. Тогда $\sin(30^\circ) = \frac{O_2K}{AO_2} = \frac{r}{AO_2}$, откуда, учитывая, что $\sin(30^\circ) = 1/2$, получаем $AO_2 = 2r$.

Так как точки $A$, $O_1$ и $O_2$ коллинеарны, расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ составляет $O_1O_2 = |AO_1 - AO_2| = |R - 2r|$.

Условие касания двух окружностей требует, чтобы расстояние между их центрами было равно либо сумме их радиусов (внешнее касание), либо модулю разности их радиусов (внутреннее касание). Это приводит к двум возможным случаям.

1. Случай внутреннего касания.
В этом случае расстояние между центрами равно $O_1O_2 = |R - r|$. Приравнивая выражения, получаем $|R - 2r| = |R - r|$. Так как при внутреннем касании $R \neq r$, это уравнение может быть верным, только если выражения под модулями имеют противоположные знаки: $R - 2r = -(R - r)$. Это дает $R - 2r = r - R$, откуда $2R = 3r$. Отношение радиусов в этом случае $\frac{R}{r} = \frac{3}{2}$.

2. Случай внешнего касания.
В этом случае расстояние между центрами равно $O_1O_2 = R + r$. Приравнивая выражения, получаем $|R - 2r| = R + r$. Это уравнение может быть верным, только если выражение под модулем отрицательно: $R - 2r = -(R + r)$. Это дает $R - 2r = -R - r$, откуда $2R = r$. Отношение радиусов в этом случае $\frac{r}{R} = 2$, или $\frac{R}{r} = \frac{1}{2}$.

Поскольку в условии задачи не указан тип касания, существуют два возможных отношения радиусов.

Ответ: $3:2$ (или $2:3$) и $1:2$ (или $2:1$).