Номер 19.44, страница 210 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.44. В правильной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания и боковое ребро равны соответственно $2$ см и $\sqrt{3}$ см. Найдите наименьшее расстояние между точками $B$ и $D_1$ по поверхности призмы.

Для нахождения наименьшего расстояния между точками B и D₁ по поверхности призмы необходимо рассмотреть развертки поверхности. Кратчайший путь на развертке — это длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Существует несколько возможных путей по граням призмы. Рассмотрим два основных варианта.

Вариант 1: Путь проходит по двум смежным боковым граням.

Рассмотрим путь, проходящий по граням $BCC_1B_1$ и $CDD_1C_1$. Создадим развертку, расположив эти две грани в одной плоскости. Получится прямоугольник $BDD_1B_1$ с присоединенным $DCC_1D_1$, нет, получится прямоугольник $BCC_1B_1$ и прямоугольник $CDD_1C_1$, которые вместе образуют больший прямоугольник $BCDB_1C_1D_1$ в развертке. Стороны этого прямоугольника будут $BC+CD$ и $BB_1$.

Длина основания этого прямоугольника равна сумме длин сторон основания призмы: $BC + CD = 2 + 2 = 4$ см.

Высота этого прямоугольника равна высоте призмы (длине бокового ребра): $DD_1 = \sqrt{3}$ см.

Кратчайшее расстояние $d_1$ между точками B и D₁ в этом случае будет равно длине диагонали полученного прямоугольника. По теореме Пифагора:

$d_1 = \sqrt{(BC+CD)^2 + (DD_1)^2} = \sqrt{4^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 3} = \sqrt{19}$ см.

Вариант 2: Путь проходит по основанию и боковой грани.

Рассмотрим путь, проходящий по основанию $ABCD$ и боковой грани $CDD_1C_1$. Создадим развертку, расположив квадрат основания $ABCD$ и прямоугольник боковой грани $CDD_1C_1$ в одной плоскости, совместив их по общему ребру $CD$.

На этой развертке точки B и D₁ являются вершинами прямоугольного треугольника. Один катет этого треугольника равен стороне основания $BC = 2$ см. Другой катет равен сумме стороны основания $CD$ и высоты призмы $DD_1$, то есть $CD+DD_1=2+\sqrt{3}$ см. Нет, это неверно.

Рассмотрим прямоугольную систему координат на развертке. Пусть точка D находится в начале координат $(0, 0)$. Тогда точка C имеет координаты $(2, 0)$, а точка D₁ — $(0, \sqrt{3})$. Поскольку $ABCD$ — квадрат, точка B будет иметь координаты $(2, -2)$.

Теперь найдем расстояние $d_2$ между точками B(2, -2) и D₁(0, $\sqrt{3}$) как длину отрезка:

$d_2 = \sqrt{(2-0)^2 + (-2-\sqrt{3})^2} = \sqrt{2^2 + (-(2+\sqrt{3}))^2} = \sqrt{4 + (2+\sqrt{3})^2}$

$d_2 = \sqrt{4 + (4 + 4\sqrt{3} + 3)} = \sqrt{4 + 7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{11 + 4\sqrt{3}}$ см.

Другие возможные пути (например, по грани $ABB_1A_1$ и верхнему основанию $A_1B_1C_1D_1$) будут симметричны рассмотренным и дадут такие же значения длин.

Сравнение расстояний

Теперь необходимо сравнить полученные значения $d_1 = \sqrt{19}$ и $d_2 = \sqrt{11 + 4\sqrt{3}}$, чтобы найти наименьшее.

Для сравнения возведем оба значения в квадрат:

$d_1^2 = 19$

$d_2^2 = 11 + 4\sqrt{3}$

Сравним числа $19$ и $11 + 4\sqrt{3}$. Вычтем 11 из обеих частей:

$19 - 11$ и $4\sqrt{3}$

$8$ и $4\sqrt{3}$

Разделим обе части на 4:

$2$ и $\sqrt{3}$

Поскольку оба числа положительные, возведем их в квадрат:

$2^2$ и $(\sqrt{3})^2$

$4$ и $3$

Так как $4 > 3$, то $2 > \sqrt{3}$, следовательно $8 > 4\sqrt{3}$, и $19 > 11 + 4\sqrt{3}$.

Это означает, что $d_1^2 > d_2^2$, и, соответственно, $d_1 > d_2$.

Наименьшее расстояние — это $d_2 = \sqrt{11 + 4\sqrt{3}}$ см.

Ответ: $\sqrt{11 + 4\sqrt{3}}$ см.