Номер 19.45, страница 211 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.45. Точка $M$ — середина ребра $B_1C_1$ правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$. Известно, что $AB = a$, $AA_1 = b$. Найдите наименьшее расстояние между точками $A$ и $M$ по поверхности призмы.

Наименьшее расстояние между точками на поверхности многогранника находится как длина прямой, соединяющей эти точки на развертке поверхности. Для нахождения наименьшего расстояния между точками $A$ и $M$ необходимо рассмотреть различные варианты развертки призмы и найти кратчайший путь.

Существует два основных типа путей от точки $A$ до точки $M$ по поверхности призмы:

1. Путь, проходящий по одной из боковых граней ($ABB_1A_1$ или $ACC_1A_1$) и затем по верхнему основанию ($A_1B_1C_1$).

2. Путь, проходящий по двум смежным боковым граням (например, $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$).

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: Путь по боковой грани и верхнему основанию.

Рассмотрим путь по боковой грани $ABB_1A_1$ и верхнему основанию $A_1B_1C_1$. Создадим развертку, расположив эти две грани в одной плоскости по общему ребру $A_1B_1$. Введем декартову систему координат, в которой точка $A$ — начало координат $(0, 0)$. Тогда вершины прямоугольника $ABB_1A_1$ имеют координаты: $A(0, 0)$, $A_1(0, b)$, $B_1(a, b)$.

Точка $C_1$ на развертке находится на расстоянии $a$ от точек $A_1$ и $B_1$. Ее координаты будут $C_1(a/2, b + a\sqrt{3}/2)$.

Точка $M$ является серединой ребра $B_1C_1$, поэтому ее координаты:$M = \left( \frac{a + a/2}{2}, \frac{b + b + a\sqrt{3}/2}{2} \right) = \left( \frac{3a}{4}, b + \frac{a\sqrt{3}}{4} \right)$.

Расстояние $d_1$ между $A(0,0)$ и $M$ на этой развертке вычисляется по теореме Пифагора:$d_1^2 = \left(\frac{3a}{4}\right)^2 + \left(b + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{9a^2}{16} + b^2 + 2 \cdot b \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{3a^2}{16} = b^2 + \frac{12a^2}{16} + \frac{ab\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $d_1 = \sqrt{b^2 + \frac{3a^2}{4} + \frac{ab\sqrt{3}}{2}}$. В силу симметрии, путь через грань $ACC_1A_1$ даст такую же длину.

Случай 2: Путь по двум смежным боковым граням.

Рассмотрим путь по граням $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Развернем эти два прямоугольника в один большой прямоугольник размером $2a \times b$. В системе координат с началом в точке $A(0,0)$ вершины $B_1$ и $C_1$ будут иметь координаты $B_1(a,b)$ и $C_1(2a,b)$.

Точка $M$ как середина $B_1C_1$ будет иметь координаты $M\left(\frac{a+2a}{2}, \frac{b+b}{2}\right) = \left(\frac{3a}{2}, b\right)$.

Расстояние $d_2$ между $A(0,0)$ и $M$ на этой развертке равно:$d_2^2 = \left(\frac{3a}{2}\right)^2 + b^2 = \frac{9a^2}{4} + b^2$.

Таким образом, $d_2 = \sqrt{b^2 + \frac{9a^2}{4}}$.

Сравнение расстояний.

Теперь необходимо сравнить полученные расстояния $d_1$ и $d_2$, чтобы найти наименьшее. Сравним их квадраты:

$d_1^2 = b^2 + \frac{3a^2}{4} + \frac{ab\sqrt{3}}{2}$

$d_2^2 = b^2 + \frac{9a^2}{4}$

Найдем разность $d_2^2 - d_1^2$:$d_2^2 - d_1^2 = \left(b^2 + \frac{9a^2}{4}\right) - \left(b^2 + \frac{3a^2}{4} + \frac{ab\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{6a^2}{4} - \frac{ab\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2 - ab\sqrt{3}}{2} = \frac{a(3a - b\sqrt{3})}{2}$.

Знак этой разности зависит от знака выражения $3a - b\sqrt{3}$:

1. Если $3a - b\sqrt{3} > 0$, то есть $b < a\sqrt{3}$, то $d_2^2 > d_1^2$, и наименьшим является расстояние $d_1$.

2. Если $3a - b\sqrt{3} < 0$, то есть $b > a\sqrt{3}$, то $d_2^2 < d_1^2$, и наименьшим является расстояние $d_2$.

3. Если $3a - b\sqrt{3} = 0$, то есть $b = a\sqrt{3}$, то $d_1^2 = d_2^2$, и расстояния равны.

Ответ: Наименьшее расстояние $d$ между точками $A$ и $M$ по поверхности призмы зависит от соотношения между стороной основания $a$ и высотой $b$:
если $b \le a\sqrt{3}$, то $d = \sqrt{b^2 + \frac{3a^2}{4} + \frac{ab\sqrt{3}}{2}}$;
если $b > a\sqrt{3}$, то $d = \sqrt{b^2 + \frac{9a^2}{4}}$.