Номер 19.38, страница 210 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.38. Основанием призмы $ABCA_1B_1C_1$ является равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ $(\angle ACB = 90^\circ)$, боковые грани призмы, содержащие рёбра $AC$ и $BC$, — квадраты. Найдите угол между прямыми $AC_1$ и $CB_1$.

Решение:

По условию, в основании призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Это означает, что катеты равны: $AC = BC$.

Боковые грани $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$ являются квадратами. Из того, что грань $ACC_1A_1$ — квадрат, следует, что боковое ребро $CC_1$ равно ребру основания $AC$ и перпендикулярно ему ($CC_1 = AC$ и $CC_1 \perp AC$). Аналогично, из того, что грань $BCC_1B_1$ — квадрат, следует, что $CC_1 = BC$ и $CC_1 \perp BC$.

Поскольку боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым $AC$ и $BC$ в плоскости основания, оно перпендикулярно всей плоскости основания $ABC$. Следовательно, данная призма является прямой.

Из равенств $AC=BC$, $AC=CC_1$ и $BC=CC_1$ следует, что $AC = BC = CC_1$. Обозначим длину этих рёбер за $a$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $CB_1$ воспользуемся методом координат. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $C$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $CA$, ось $Oy$ вдоль ребра $CB$ и ось $Oz$ вдоль ребра $CC_1$. В этой системе координат вершины призмы будут иметь следующие координаты: $C(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(0, a, 0)$, $C_1(0, 0, a)$ и $B_1(0, a, a)$.

Найдём координаты векторов, соответствующих нашим прямым. Направляющим вектором для прямой $AC_1$ является вектор $\vec{AC_1}$, а для прямой $CB_1$ — вектор $\vec{CB_1}$.

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (0 - a, 0 - 0, a - 0) = (-a, 0, a)$.

$\vec{CB_1} = B_1 - C = (0 - 0, a - 0, a - 0) = (0, a, a)$.

Угол $\varphi$ между прямыми можно найти через угол между их направляющими векторами по формуле: $ \cos \varphi = \frac{|\vec{AC_1} \cdot \vec{CB_1}|}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{CB_1}|} $

Вычислим скалярное произведение векторов: $ \vec{AC_1} \cdot \vec{CB_1} = (-a) \cdot 0 + 0 \cdot a + a \cdot a = 0 + 0 + a^2 = a^2 $

Вычислим длины (модули) векторов: $ |\vec{AC_1}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} $

$ |\vec{CB_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} $

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: $ \cos \varphi = \frac{|a^2|}{(a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2} $

Отсюда находим угол $\varphi$: $ \varphi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ $

Ответ: $60^\circ$.