Номер 19.34, страница 210 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.34. Сторона основания правильной призмы $ABC{A_1}{B_1}{C_1}$ равна 4 см, боковое ребро — 3 см. Через ребро $AB$ проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь образовавшегося сечения.

19.34.

Дано: правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, сторона основания $a = AB = 4$ см, боковое ребро $h = AA_1 = 3$ см. Сечение проведено через ребро $AB$ под углом $60^\circ$ к плоскости основания.

1. Определим форму сечения.Пусть плоскость сечения $\pi$ пересекает плоскость основания $(ABC)$ по прямой $AB$. Угол между плоскостями измеряется как угол между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения. В основании $ABC$ (равносторонний треугольник) проведем высоту и медиану $CM$ к стороне $AB$. Тогда $CM \perp AB$. В плоскости сечения $\pi$ проведем $MK \perp AB$, где $K$ - точка на сечении. Угол между плоскостями будет равен углу $\angle KMC = 60^\circ$.

Сначала предположим, что сечение является треугольником $ABK'$, где точка $K'$ лежит на ребре $CC_1$. В этом случае треугольник $CMK'$ был бы прямоугольным ($\angle MCK' = 90^\circ$, так как $CC_1$ перпендикулярно основанию). Найдем высоту $CM$ в равностороннем треугольнике $ABC$:$CM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.Тогда из треугольника $CMK'$ катет $CK'$ был бы равен:$CK' = CM \cdot \tan(\angle KMC) = 2\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6$ см.Однако, высота призмы $CC_1$ равна 3 см. Поскольку $6 > 3$, точка $K'$ не может лежать на ребре $CC_1$. Это означает, что секущая плоскость пересекает верхнее основание призмы $A_1B_1C_1$.

Так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости оснований, линии пересечения будут параллельны. Линия пересечения с нижним основанием - $AB$, значит, линия пересечения с верхним основанием, назовем ее $DE$, будет параллельна $AB$ (и $A_1B_1$). Следовательно, сечение является равнобедренной трапецией $ABED$, где $D \in A_1C_1$ и $E \in B_1C_1$.

2. Найдем размеры трапеции $ABED$.Нижнее основание трапеции $AB = 4$ см.Высотой трапеции является отрезок $MK$, где $M$ - середина $AB$, а $K$ - середина $DE$.Рассмотрим сечение призмы плоскостью симметрии, проходящей через $C$, $M$ и $C_1$. Это сечение - прямоугольник $CMM_1C_1$ ($M_1$ - середина $A_1B_1$). В этой плоскости лежит высота трапеции $MK$. Мы знаем, что $CM = 2\sqrt{3}$ см и $MM_1 = 3$ см. Угол между высотой сечения $MK$ и ее проекцией на основание $CM$ равен $\angle KMC = 60^\circ$.

Точка $K$ лежит на отрезке $M_1C_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MM'K$, где $M'$ - проекция точки $K$ на прямую $CM$. Это неверно. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезками $MM_1$ и $M_1K$. $MM_1$ - это высота призмы. $M_1K$ - это расстояние от середины ребра $A_1B_1$ до середины отрезка $DE$.Из $\triangle MM'K$, где $M'$ - проекция $K$ на прямую $MM_1$, имеем $M'K = M_1K$. Тогда $\tan(\angle KMC) = \frac{MM_1}{CM-C_1K}$ - сложно.Проще использовать тот факт, что в плоскости $CMM_1C_1$ точка $K$ лежит на прямой, выходящей из $M$ под углом $60^\circ$ к $CM$. Пусть $M$ - начало координат, ось $x$ направлена по $MC$, ось $y$ - по $MM_1$. Прямая $MK$ задается уравнением $y = x \cdot \tan(60^\circ) = x\sqrt{3}$. Точка $K$ лежит на верхнем основании, то есть на высоте $y=3$. Найдем ее координату $x$:$3 = x\sqrt{3} \implies x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ см.Эта координата $x$ есть длина отрезка $M_1K$. Итак, $M_1K = \sqrt{3}$ см.Высота трапеции $MK$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами $MM_1=3$ и $M_1K=\sqrt{3}$:$MK = \sqrt{(MM_1)^2 + (M_1K)^2} = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{9+3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем длину верхнего основания $DE$. В верхнем основании $A_1B_1C_1$ отрезок $DE$ параллелен стороне $A_1B_1$, а точка $K$ является его серединой и лежит на высоте $C_1M_1$. Треугольник $\triangle DEC_1$ подобен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их высот:$k = \frac{C_1K}{C_1M_1}$$C_1M_1 = CM = 2\sqrt{3}$ см.$C_1K = C_1M_1 - M_1K = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.$k = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.Значит, $DE = k \cdot A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

3. Вычислим площадь сечения.Площадь трапеции $ABED$ равна:$S = \frac{AB+DE}{2} \cdot MK = \frac{4+2}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см$^2$.

Альтернативный способ через проекцию:Площадь проекции сечения на основание $S_{пр}$ связана с площадью сечения $S_{сеч}$ формулой $S_{пр} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$.Проекцией сечения является трапеция с основаниями $AB=4$ и $DE_{пр}=2$ (поскольку подобие сохраняется) и высотой $h_{пр} = M_1K = \sqrt{3}$.$S_{пр} = \frac{4+2}{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см$^2$.$S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos(60^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{1/2} = 6\sqrt{3}$ см$^2$.Результаты совпадают.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см$^2$.