Номер 19.37, страница 210 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.37. Основанием призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Проекцией вершины $B_1$ на плоскость $ABC$ является вершина $C$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если $BC = 1$ см, $\angle B_1 BC = 45^\circ$ и двугранный угол призмы при ребре $BB_1$ равен $60^\circ$.

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней, которые являются параллелограммами: $S_{бок} = S_{BCC_1B_1} + S_{ACC_1A_1} + S_{ABB_1A_1}$.

1. Нахождение параметров призмы.

По условию, проекцией вершины $B_1$ на плоскость основания $ABC$ является вершина $C$. Это означает, что отрезок $B_1C$ перпендикулярен плоскости основания $ABC$. Следовательно, $B_1C \perp BC$ и $B_1C \perp AC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle B_1CB$. Так как $B_1C \perp BC$, этот треугольник прямоугольный с прямым углом $\angle B_1CB$. Нам даны катет $BC = 1$ см и угол $\angle B_1BC = 45^\circ$. Поскольку сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, то $\angle CB_1B = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Таким образом, $\triangle B_1CB$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и $B_1C = BC = 1$ см.

Длину бокового ребра $BB_1$ найдем по теореме Пифагора из $\triangle B_1CB$:

$BB_1 = \sqrt{BC^2 + B_1C^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Все боковые ребра призмы равны, поэтому $AA_1 = BB_1 = CC_1 = \sqrt{2}$ см.

2. Нахождение катета $AC$ с использованием двугранного угла.

Двугранный угол при ребре $BB_1$ равен $60^\circ$. Его линейный угол - это угол между двумя перпендикулярами к ребру $BB_1$, проведенными в гранях $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ из одной точки на ребре.

Проведем в грани $BCC_1B_1$ высоту $CH$ к стороне $BB_1$ из вершины $C$. Длину этой высоты можно найти из площади треугольника $\triangle B_1CB$ или через синус угла:

$CH = BC \cdot \sin(\angle B_1BC) = 1 \cdot \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

В основании призмы лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с $\angle ACB = 90^\circ$, значит $AC \perp BC$. Кроме того, $AC \perp B_1C$, так как $B_1C$ перпендикулярно всей плоскости основания. Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BC$ и $B_1C$) в плоскости грани $BCC_1B_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BCC_1B_1$.

Так как $AC \perp \text{плоскости}(BCC_1B_1)$, то $AC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и $CH$. Следовательно, $\triangle AHC$ - прямоугольный с прямым углом $\angle ACH$.

По теореме о трех перпендикулярах, так как $CH \perp BB_1$ (построение) и $CH$ является проекцией наклонной $AH$ на плоскость $(BCC_1B_1)$, то и сама наклонная $AH$ перпендикулярна $BB_1$.

Таким образом, угол $\angle AHC$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BB_1$, и по условию $\angle AHC = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHC$ найдем катет $AC$:

$AC = CH \cdot \tan(\angle AHC) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \tan(60^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ см.

3. Вычисление площадей боковых граней.

Площадь грани $BCC_1B_1$:

Это параллелограмм со сторонами $BB_1 = \sqrt{2}$ и $BC=1$. Его площадь равна произведению основания на высоту. Возьмем за основание $BB_1$. Высотой, проведенной из вершины $C$, является отрезок $CH$.

$S_{BCC_1B_1} = BB_1 \cdot CH = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$ см$^2$.

Площадь грани $ACC_1A_1$:

Это параллелограмм со сторонами $AC = \frac{\sqrt{6}}{2}$ и $CC_1 = \sqrt{2}$. Мы доказали, что $AC \perp \text{плоскости}(BCC_1B_1)$. Так как ребро $CC_1$ лежит в этой плоскости, то $AC \perp CC_1$. Следовательно, грань $ACC_1A_1$ является прямоугольником.

$S_{ACC_1A_1} = AC \cdot CC_1 = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь грани $ABB_1A_1$:

Это параллелограмм со стороной $BB_1 = \sqrt{2}$. Высотой, проведенной к этой стороне из вершины $A$, является отрезок $AH$. Найдем его длину из прямоугольного треугольника $\triangle AHC$:

$AH = \frac{CH}{\cos(\angle AHC)} = \frac{\sqrt{2}/2}{\cos(60^\circ)} = \frac{\sqrt{2}/2}{1/2} = \sqrt{2}$ см.

$S_{ABB_1A_1} = BB_1 \cdot AH = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ см$^2$.

4. Нахождение общей площади боковой поверхности.

Сложим площади всех боковых граней:

$S_{бок} = S_{BCC_1B_1} + S_{ACC_1A_1} + S_{ABB_1A_1} = 1 + \sqrt{3} + 2 = 3 + \sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $3 + \sqrt{3}$ см$^2$.