Номер 19.35, страница 210 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.35. Основанием призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$). Проекцией вершины $A_1$ на плоскость $ABC$ является середина ребра $AC$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если $AA_1 = 2$ см, $\angle A_1AC = 75^\circ$ и двугранный угол призмы при ребре $AA_1$ равен $60^\circ$.

Площадь боковой поверхности призмы можно найти по формуле $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $l$ - длина бокового ребра, а $P_{\perp}$ - периметр сечения призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру (перпендикулярного сечения).

По условию, длина бокового ребра $l = AA_1 = 2$ см.

Пусть $A'B'C'$ - перпендикулярное сечение призмы. Это треугольник, плоскость которого перпендикулярна боковому ребру $AA_1$. Следовательно, стороны этого треугольника $A'B'$ и $A'C'$ перпендикулярны ребру $AA_1$. Двугранный угол при ребре $AA_1$ - это угол между плоскостями боковых граней $(AA_1B_1B)$ и $(AA_1C_1C)$. Его линейной мерой является угол $\angle B'A'C'$ в перпендикулярном сечении. Таким образом, $\angle B'A'C' = 60^\circ$.

Стороны перпендикулярного сечения $A'B'$ и $A'C'$ являются высотами боковых граней-параллелограммов $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$, проведенными к стороне $AA_1$. Найдем площади этих граней.

1. Найдем площадь грани $AA_1C_1C$.

Пусть $M$ - середина ребра $AC$. По условию, проекцией вершины $A_1$ на плоскость $ABC$ является точка $M$, следовательно, $A_1M \perp (ABC)$. Так как $AC$ лежит в плоскости $ABC$, то $A_1M \perp AC$. Значит, $A_1M$ - высота параллелограмма $AA_1C_1C$, проведенная к основанию $AC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1MA$ (прямой угол $\angle A_1MA$). В нем гипотенуза $AA_1=2$ см, а угол $\angle A_1AM = \angle A_1AC = 75^\circ$. Найдем катеты:

$AM = AA_1 \cdot \cos(\angle A_1AM) = 2 \cos(75^\circ)$.

$A_1M = AA_1 \cdot \sin(\angle A_1AM) = 2 \sin(75^\circ)$.

Поскольку $M$ - середина $AC$, то $AC = 2 \cdot AM = 4 \cos(75^\circ)$.

Площадь грани $AA_1C_1C$ равна произведению основания на высоту:

$S_{AA_1C_1C} = AC \cdot A_1M = (4 \cos(75^\circ)) \cdot (2 \sin(75^\circ)) = 4 \cdot (2 \sin(75^\circ) \cos(75^\circ)) = 4 \sin(2 \cdot 75^\circ) = 4 \sin(150^\circ)$.

Так как $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то

$S_{AA_1C_1C} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ см².

С другой стороны, площадь этого параллелограмма можно выразить через боковое ребро $AA_1$ и высоту к нему, которой является сторона перпендикулярного сечения $A'C'$:

$S_{AA_1C_1C} = AA_1 \cdot A'C' \Rightarrow 2 = 2 \cdot A'C' \Rightarrow A'C' = 1$ см.

2. Найдем площадь грани $AA_1B_1B$.

Так как $A_1M \perp (ABC)$ и $AC \perp BC$ (по условию, $\angle ACB = 90^\circ$), то по теореме о трех перпендикулярах, наклонная $A_1C$ перпендикулярна $BC$.

Поскольку $BC \perp AC$ и $BC \perp A_1C$, то прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $(A_1AC)$, а значит, $BC$ перпендикулярна всей плоскости $(A_1AC)$. Плоскость $(A_1AC)$ совпадает с плоскостью грани $(AA_1C_1C)$.

Следовательно, грань $AA_1C_1C$ является ортогональной проекцией грани $AA_1B_1B$ на плоскость $(AA_1C_1C)$. Угол между этими плоскостями равен $60^\circ$. По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника:

$S_{проекции} = S_{оригинала} \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между плоскостями.

$S_{AA_1C_1C} = S_{AA_1B_1B} \cdot \cos(60^\circ)$.

$2 = S_{AA_1B_1B} \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow S_{AA_1B_1B} = 4$ см².

Теперь найдем длину стороны перпендикулярного сечения $A'B'$:

$S_{AA_1B_1B} = AA_1 \cdot A'B' \Rightarrow 4 = 2 \cdot A'B' \Rightarrow A'B' = 2$ см.

3. Найдем периметр перпендикулярного сечения и площадь боковой поверхности.

В треугольнике перпендикулярного сечения $A'B'C'$ мы знаем две стороны $A'C' = 1$ см, $A'B' = 2$ см и угол между ними $\angle B'A'C' = 60^\circ$. Найдем третью сторону $B'C'$ по теореме косинусов:

$(B'C')^2 = (A'B')^2 + (A'C')^2 - 2 \cdot A'B' \cdot A'C' \cdot \cos(60^\circ)$

$(B'C')^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 4 + 1 - 2 = 3$.

$B'C' = \sqrt{3}$ см.

Периметр перпендикулярного сечения равен:

$P_{\perp} = A'B' + A'C' + B'C' = 2 + 1 + \sqrt{3} = 3 + \sqrt{3}$ см.

Площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = (3 + \sqrt{3}) \cdot 2 = 6 + 2\sqrt{3}$ см².

Ответ: $6 + 2\sqrt{3}$ см².