Номер 19.33, страница 209 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.33. Основанием прямой призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 10$ см и $AC = 12$ см. Боковое ребро призмы равно 4 см. Через ребро $AC$ проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите площадь образовавшегося сечения.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Проанализируем основание призмы и найдем его ключевые параметры.
2. Определим форму сечения, исходя из его расположения и угла наклона.
3. Найдем площадь сечения, используя теорему о площади ортогональной проекции фигуры.

1. Анализ основания призмы

Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 10$ см и $AC = 12$ см. Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $BH$ к основанию $AC$. Так как треугольник равнобедренный, высота $BH$ является также и медианой.

Следовательно, точка $H$ — середина отрезка $AC$, и $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. По теореме Пифагора:
$BH^2 + HC^2 = BC^2$
$BH^2 + 6^2 = 10^2$
$BH^2 + 36 = 100$
$BH^2 = 100 - 36 = 64$
$BH = \sqrt{64} = 8$ см.

2. Определение формы сечения

Сечение проходит через ребро $AC$ и образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Угол между двумя плоскостями (в данном случае, плоскостью сечения и плоскостью основания $ABC$) измеряется как угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения (ребру $AC$) в каждой из плоскостей.

В плоскости основания мы уже провели перпендикуляр $BH$ к $AC$. Пусть плоскость сечения пересекает ребро $BB_1$ (или его продолжение) в точке $M$. Тогда в плоскости сечения перпендикуляром к $AC$ будет отрезок $MH$. Угол между плоскостями равен углу $\angle MHB$, и по условию он составляет $45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBH$ (прямой угол при вершине $B$, так как призма прямая и $BB_1 \perp BH$). Найдем длину катета $MB$:
$MB = BH \cdot \tan(\angle MHB) = 8 \cdot \tan(45^\circ) = 8 \cdot 1 = 8$ см.

Боковое ребро призмы $BB_1$ равно 4 см. Поскольку $MB = 8$ см, что больше длины бокового ребра $BB_1$, точка $M$ лежит на продолжении ребра $BB_1$ за точку $B_1$. Это означает, что секущая плоскость пересекает верхнее основание призмы $A_1B_1C_1$.

Так как плоскости оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Линия пересечения с нижним основанием — $AC$. Следовательно, линия пересечения с верхним основанием, обозначим ее $DE$, будет параллельна $AC$. Таким образом, сечение представляет собой трапецию $ACED$, где точки $D$ и $E$ лежат на ребрах $A_1B_1$ и $C_1B_1$ соответственно.

3. Нахождение площади сечения

Для нахождения площади сечения ($S_{сеч}$) воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции. Площадь проекции фигуры на плоскость равна площади самой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции:
$S_{проекции} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$
Отсюда, $S_{сеч} = \frac{S_{проекции}}{\cos(\alpha)}$.

В нашем случае, ортогональной проекцией сечения (трапеции $ACED$) на плоскость основания $ABC$ является трапеция $ACED'$, где $D'$ и $E'$ — проекции точек $D$ и $E$. Нам нужно найти площадь этой проекции.

Верхнее основание проекции $D'E'$ параллельно $AC$ и лежит в треугольнике $ABC$. Чтобы найти его длину и высоту трапеции-проекции, рассмотрим подобные треугольники $\triangle D'BE'$ и $\triangle ABC$. Они подобны, так как $D'E' \parallel AC$.

Найдем положение прямой $D'E'$. Прямая $DE$ лежит в плоскости верхнего основания, т.е. на высоте 4 см от нижнего. Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через $B$, $H$ и $B_1$. В этой плоскости лежит линия $MH$. Эта линия пересекает отрезок $B_1H_1$ (где $H_1$ — проекция $H$ на верхнее основание) в некоторой точке $K$. Точка $K$ является серединой отрезка $DE$. Ее проекция $K'$ на основание $ABC$ будет лежать на отрезке $BH$.

В прямоугольном треугольнике, образованном точками $H$, $K'$ и точкой на $MH$ на высоте 4, катеты равны, так как угол наклона $45^\circ$. Таким образом, расстояние $HK'$ равно высоте, то есть $HK' = 4$ см. Это высота трапеции-проекции $ACED'$.

Теперь найдем длину основания $D'E'$. Из подобия треугольников $\triangle D'BE'$ и $\triangle ABC$ имеем отношение высот, проведенных из вершины $B$:
$\frac{BK'}{BH} = \frac{BH - HK'}{BH} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Это же отношение справедливо и для оснований:
$\frac{D'E'}{AC} = \frac{1}{2}$
$D'E' = \frac{1}{2} \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Теперь мы можем найти площадь проекции — трапеции $ACED'$ с основаниями $AC=12$ см, $D'E'=6$ см и высотой $HK'=4$ см:
$S_{проекции} = \frac{AC + D'E'}{2} \cdot HK' = \frac{12 + 6}{2} \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36$ см$^2$.

Наконец, находим площадь самого сечения, зная, что угол $\alpha = 45^\circ$:
$S_{сеч} = \frac{S_{проекции}}{\cos(45^\circ)} = \frac{36}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{36 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{72}{\sqrt{2}} = \frac{72\sqrt{2}}{2} = 36\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{2}$ см$^2$.