Номер 19.39, страница 210 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.39. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является трапеция $ABCD (BC \parallel AD)$. Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$, если $AA_1 = AB = BC = CD = 0,5AD$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $CD_1$ воспользуемся методом координат. Пусть $a$ — длина боковой стороны трапеции. Согласно условию, $AA_1 = AB = BC = CD = a$. Тогда длина большего основания трапеции $AD = 2a$. Так как $AB = CD$, трапеция $ABCD$ является равнобедренной.

Введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, ось $Oz$ — вдоль ребра $AA_1$, а ось $Oy$ — перпендикулярно плоскости $ADD_1A_1$ так, чтобы трапеция $ABCD$ находилась в области $y \ge 0$.

Найдем координаты вершин основания $ABCD$.

• Точка $A$ является началом координат: $A(0, 0, 0)$.
• Точка $D$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $2a$ от начала координат: $D(2a, 0, 0)$.

Для нахождения координат точек $B$ и $C$ опустим перпендикуляры $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезки $AH$ и $KD$ равны:$AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2a - a}{2} = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Высота трапеции $BH$ равна:$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь мы можем определить координаты точек $B$ и $C$:

• Координаты точки $B$: $x_B = AH = \frac{a}{2}$, $y_B = BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $z_B = 0$. Таким образом, $B(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Координаты точки $C$: $x_C = AK = AD - KD = 2a - \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}$, $y_C = CK = BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $z_C = 0$. Таким образом, $C(\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямая, ее высота равна $AA_1 = a$. Координаты нужных нам вершин верхнего основания:

• $B_1(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$.
• $D_1(2a, 0, a)$.

Найдем координаты направляющих векторов прямых $AB_1$ и $CD_1$:$\vec{v_1} = \vec{AB_1} = (\frac{a}{2} - 0, \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0, a - 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$.$\vec{v_2} = \vec{CD_1} = (2a - \frac{3a}{2}, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}, a - 0) = (\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2}, a)$.

Угол $\phi$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами по формуле:$\cos\phi = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (\frac{a}{2})(\frac{a}{2}) + (\frac{a\sqrt{3}}{2})(-\frac{a\sqrt{3}}{2}) + (a)(a) = \frac{a^2}{4} - \frac{3a^2}{4} + a^2 = -\frac{2a^2}{4} + a^2 = -\frac{a^2}{2} + a^2 = \frac{a^2}{2}$.

Вычислим модули векторов:$|\vec{v_1}| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.$|\vec{v_2}| = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (-\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь найдем косинус угла:$\cos\phi = \frac{|\frac{a^2}{2}|}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{2a^2} = \frac{a^2}{4a^2} = \frac{1}{4}$.

Следовательно, угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ равен $\arccos(\frac{1}{4})$.

Ответ: $\arccos(\frac{1}{4})$.