Страница 210 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.41. Точка $M$ — середина ребра $AB$ прямой призмы $ABC A_1 B_1 C_1$. Точка $X$ принадлежит прямой $CM$. Найдите наименьшее значение площади треугольника $BXC_1$, если $AC = BC = 9$ см, $AB = 10$ см и $CC_1 = 12$ см.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Для начала найдем параметры основания призмы — треугольника $ABC$.

В основании призмы лежит равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AC = BC = 9$ см, а основание $AB = 10$ см. Точка $M$ — середина ребра $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана $CM$, проведенная к основанию, является также и высотой, следовательно, $CM \perp AB$.

Найдем длину медианы $CM$ из прямоугольного треугольника $CMB$. Катет $MB$ равен половине $AB$, то есть $MB = \frac{1}{2} AB = \frac{10}{2} = 5$ см. По теореме Пифагора:

$CM^2 + MB^2 = BC^2$

$CM^2 + 5^2 = 9^2$

$CM^2 + 25 = 81$

$CM^2 = 56 \Rightarrow CM = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$ см.

Теперь введем трехмерную систему координат. Поместим начало координат в точку $M$. Направим ось $Ox$ вдоль прямой $AB$, ось $Oy$ — вдоль прямой $MC$, а ось $Oz$ — параллельно боковому ребру $CC_1$, так как призма прямая.

В этой системе координат вершины будут иметь следующие координаты:

• $M = (0; 0; 0)$
• $B = (5; 0; 0)$
• $C = (0; 2\sqrt{14}; 0)$

Поскольку призма прямая и ее высота $CC_1 = 12$ см, координаты точки $C_1$ будут:

• $C_1 = (0; 2\sqrt{14}; 12)$

Точка $X$ принадлежит прямой $CM$, которая в нашей системе координат является осью $Oy$. Следовательно, координаты точки $X$ можно записать как $(0; y; 0)$, где $y$ — некоторое действительное число.

Площадь треугольника $BXC_1$ можно найти по формуле, использующей векторное произведение векторов, исходящих из одной вершины, например, из вершины $X$:

$S_{BXC_1} = \frac{1}{2} |\vec{XB} \times \vec{XC_1}|$

Найдем векторы $\vec{XB}$ и $\vec{XC_1}$:

$\vec{XB} = B - X = (5 - 0; 0 - y; 0 - 0) = (5; -y; 0)$

$\vec{XC_1} = C_1 - X = (0 - 0; 2\sqrt{14} - y; 12 - 0) = (0; 2\sqrt{14} - y; 12)$

Теперь вычислим их векторное произведение:

$\vec{XB} \times \vec{XC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & -y & 0 \\ 0 & 2\sqrt{14}-y & 12 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-12y - 0) - \mathbf{j}(60 - 0) + \mathbf{k}(5(2\sqrt{14}-y) - 0) = (-12y; -60; 10\sqrt{14}-5y)$

Найдем модуль (длину) этого вектора:

$|\vec{XB} \times \vec{XC_1}| = \sqrt{(-12y)^2 + (-60)^2 + (10\sqrt{14}-5y)^2} = \sqrt{144y^2 + 3600 + (100 \cdot 14 - 100\sqrt{14}y + 25y^2)}$

$= \sqrt{144y^2 + 3600 + 1400 - 100\sqrt{14}y + 25y^2} = \sqrt{169y^2 - 100\sqrt{14}y + 5000}$

Таким образом, площадь треугольника $BXC_1$ как функция от $y$ равна:

$S(y) = \frac{1}{2} \sqrt{169y^2 - 100\sqrt{14}y + 5000}$

Чтобы найти наименьшее значение площади, нужно найти наименьшее значение подкоренного выражения $f(y) = 169y^2 - 100\sqrt{14}y + 5000$. Это квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом ($169 > 0$), поэтому ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Координата вершины параболы $y_0 = -\frac{b}{2a}$:

$y_0 = -\frac{-100\sqrt{14}}{2 \cdot 169} = \frac{50\sqrt{14}}{169}$

Найдем минимальное значение функции $f(y)$, подставив $y_0$ в выражение для $f(y)$ или воспользовавшись формулой $f_{min} = c - \frac{b^2}{4a}$:

$f_{min} = 5000 - \frac{(-100\sqrt{14})^2}{4 \cdot 169} = 5000 - \frac{10000 \cdot 14}{676} = 5000 - \frac{140000}{676} = 5000 - \frac{35000}{169}$

$f_{min} = \frac{5000 \cdot 169 - 35000}{169} = \frac{845000 - 35000}{169} = \frac{810000}{169}$

Теперь можем найти наименьшее значение площади:

$S_{min} = \frac{1}{2} \sqrt{f_{min}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{810000}{169}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{810000}}{\sqrt{169}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{900}{13} = \frac{450}{13}$

Ответ: $\frac{450}{13}$ см$^2$.