Страница 211 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.45. Точка $M$ — середина ребра $B_1C_1$ правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$. Известно, что $AB = a$, $AA_1 = b$. Найдите наименьшее расстояние между точками $A$ и $M$ по поверхности призмы.

Наименьшее расстояние между точками на поверхности многогранника находится как длина прямой, соединяющей эти точки на развертке поверхности. Для нахождения наименьшего расстояния между точками $A$ и $M$ необходимо рассмотреть различные варианты развертки призмы и найти кратчайший путь.

Существует два основных типа путей от точки $A$ до точки $M$ по поверхности призмы:

1. Путь, проходящий по одной из боковых граней ($ABB_1A_1$ или $ACC_1A_1$) и затем по верхнему основанию ($A_1B_1C_1$).

2. Путь, проходящий по двум смежным боковым граням (например, $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$).

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: Путь по боковой грани и верхнему основанию.

Рассмотрим путь по боковой грани $ABB_1A_1$ и верхнему основанию $A_1B_1C_1$. Создадим развертку, расположив эти две грани в одной плоскости по общему ребру $A_1B_1$. Введем декартову систему координат, в которой точка $A$ — начало координат $(0, 0)$. Тогда вершины прямоугольника $ABB_1A_1$ имеют координаты: $A(0, 0)$, $A_1(0, b)$, $B_1(a, b)$.

Точка $C_1$ на развертке находится на расстоянии $a$ от точек $A_1$ и $B_1$. Ее координаты будут $C_1(a/2, b + a\sqrt{3}/2)$.

Точка $M$ является серединой ребра $B_1C_1$, поэтому ее координаты:$M = \left( \frac{a + a/2}{2}, \frac{b + b + a\sqrt{3}/2}{2} \right) = \left( \frac{3a}{4}, b + \frac{a\sqrt{3}}{4} \right)$.

Расстояние $d_1$ между $A(0,0)$ и $M$ на этой развертке вычисляется по теореме Пифагора:$d_1^2 = \left(\frac{3a}{4}\right)^2 + \left(b + \frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{9a^2}{16} + b^2 + 2 \cdot b \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{3a^2}{16} = b^2 + \frac{12a^2}{16} + \frac{ab\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, $d_1 = \sqrt{b^2 + \frac{3a^2}{4} + \frac{ab\sqrt{3}}{2}}$. В силу симметрии, путь через грань $ACC_1A_1$ даст такую же длину.

Случай 2: Путь по двум смежным боковым граням.

Рассмотрим путь по граням $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Развернем эти два прямоугольника в один большой прямоугольник размером $2a \times b$. В системе координат с началом в точке $A(0,0)$ вершины $B_1$ и $C_1$ будут иметь координаты $B_1(a,b)$ и $C_1(2a,b)$.

Точка $M$ как середина $B_1C_1$ будет иметь координаты $M\left(\frac{a+2a}{2}, \frac{b+b}{2}\right) = \left(\frac{3a}{2}, b\right)$.

Расстояние $d_2$ между $A(0,0)$ и $M$ на этой развертке равно:$d_2^2 = \left(\frac{3a}{2}\right)^2 + b^2 = \frac{9a^2}{4} + b^2$.

Таким образом, $d_2 = \sqrt{b^2 + \frac{9a^2}{4}}$.

Сравнение расстояний.

Теперь необходимо сравнить полученные расстояния $d_1$ и $d_2$, чтобы найти наименьшее. Сравним их квадраты:

$d_1^2 = b^2 + \frac{3a^2}{4} + \frac{ab\sqrt{3}}{2}$

$d_2^2 = b^2 + \frac{9a^2}{4}$

Найдем разность $d_2^2 - d_1^2$:$d_2^2 - d_1^2 = \left(b^2 + \frac{9a^2}{4}\right) - \left(b^2 + \frac{3a^2}{4} + \frac{ab\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{6a^2}{4} - \frac{ab\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2 - ab\sqrt{3}}{2} = \frac{a(3a - b\sqrt{3})}{2}$.

Знак этой разности зависит от знака выражения $3a - b\sqrt{3}$:

1. Если $3a - b\sqrt{3} > 0$, то есть $b < a\sqrt{3}$, то $d_2^2 > d_1^2$, и наименьшим является расстояние $d_1$.

2. Если $3a - b\sqrt{3} < 0$, то есть $b > a\sqrt{3}$, то $d_2^2 < d_1^2$, и наименьшим является расстояние $d_2$.

3. Если $3a - b\sqrt{3} = 0$, то есть $b = a\sqrt{3}$, то $d_1^2 = d_2^2$, и расстояния равны.

Ответ: Наименьшее расстояние $d$ между точками $A$ и $M$ по поверхности призмы зависит от соотношения между стороной основания $a$ и высотой $b$:
если $b \le a\sqrt{3}$, то $d = \sqrt{b^2 + \frac{3a^2}{4} + \frac{ab\sqrt{3}}{2}}$;
если $b > a\sqrt{3}$, то $d = \sqrt{b^2 + \frac{9a^2}{4}}$.

19.46. Все грани выпуклого многогранника являются правильными пятиугольниками или правильными шестиугольниками. Найдите количество граней, являющихся пятиугольниками.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой Эйлера для выпуклых многогранников, а также посчитаем количество вершин, рёбер и граней через их свойства.

Обозначим:

• $Г_5$ — количество граней, являющихся правильными пятиугольниками.
• $Г_6$ — количество граней, являющихся правильными шестиугольниками.
• $Г$ — общее число граней, $Г = Г_5 + Г_6$.
• $Р$ — общее число рёбер.
• $В$ — общее число вершин.

Формула Эйлера для выпуклого многогранника гласит: $В - Р + Г = 2$.

1. Связь между числом рёбер и числом граней.

Каждая пятиугольная грань имеет 5 рёбер, а каждая шестиугольная — 6 рёбер. Если мы сложим число рёбер всех граней ($5Г_5 + 6Г_6$), мы посчитаем каждое ребро многогранника дважды, так как каждое ребро является общим для двух смежных граней. Следовательно:

$2Р = 5Г_5 + 6Г_6$

2. Связь между числом вершин и числом рёбер.

Рассмотрим, сколько граней может сходиться в одной вершине. Для этого проанализируем сумму плоских углов при вершине, которая для выпуклого многогранника должна быть меньше $360^\circ$.

• Внутренний угол правильного пятиугольника равен $((5-2) \cdot 180^\circ) / 5 = 108^\circ$.
• Внутренний угол правильного шестиугольника равен $((6-2) \cdot 180^\circ) / 6 = 120^\circ$.

Возможные комбинации граней в одной вершине:

• Три пятиугольника: $3 \cdot 108^\circ = 324^\circ < 360^\circ$. (Возможно)
• Два пятиугольника и один шестиугольник: $2 \cdot 108^\circ + 120^\circ = 216^\circ + 120^\circ = 336^\circ < 360^\circ$. (Возможно)
• Один пятиугольник и два шестиугольника: $108^\circ + 2 \cdot 120^\circ = 108^\circ + 240^\circ = 348^\circ < 360^\circ$. (Возможно)
• Три шестиугольника: $3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$. (Невозможно, это даст плоскую поверхность)

Любая комбинация из четырёх и более граней невозможна, так как даже четыре пятиугольника дают сумму углов $4 \cdot 108^\circ = 432^\circ > 360^\circ$.

Таким образом, в каждой вершине данного многогранника сходятся ровно три грани. Это означает, что из каждой вершины выходят ровно три ребра. Сумма степеней всех вершин равна $3В$. По лемме о рукопожатиях, эта сумма также равна удвоенному числу рёбер:

$3В = 2Р$

3. Решение системы уравнений.

У нас есть система из трёх соотношений:

1. $В - Р + Г = 2$
2. $2Р = 5Г_5 + 6Г_6$
3. $3В = 2Р$

Из соотношения (3) выразим $В$: $В = \frac{2}{3}Р$.

Подставим это выражение для $В$ и выражение $Г = Г_5 + Г_6$ в формулу Эйлера (1):

$\frac{2}{3}Р - Р + (Г_5 + Г_6) = 2$

$-\frac{1}{3}Р + Г_5 + Г_6 = 2$

Умножим обе части уравнения на 3:

$-Р + 3(Г_5 + Г_6) = 6$

$3Г_5 + 3Г_6 - Р = 6$

Теперь умножим это уравнение на 2:

$6Г_5 + 6Г_6 - 2Р = 12$

Подставим в полученное уравнение выражение для $2Р$ из соотношения (2):

$6Г_5 + 6Г_6 - (5Г_5 + 6Г_6) = 12$

Раскроем скобки:

$6Г_5 + 6Г_6 - 5Г_5 - 6Г_6 = 12$

Приведём подобные слагаемые:

$(6Г_5 - 5Г_5) + (6Г_6 - 6Г_6) = 12$

$Г_5 = 12$

Таким образом, количество пятиугольных граней в таком многограннике всегда равно 12, независимо от числа шестиугольных граней (которое может быть любым целым неотрицательным числом, кроме 1).

Ответ: 12

19.47. Одна окружность описана около равностороннего треугольника $ABC$, а вторая касается прямых $AB$ и $AC$ и первой окружности. Найдите отношение радиусов этих окружностей.

Пусть $R$ — радиус первой окружности (описанной около равностороннего треугольника $ABC$), а $r$ — радиус второй окружности. Пусть центр первой окружности — $O_1$, а второй — $O_2$.

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, его центр описанной окружности $O_1$ также является точкой пересечения его биссектрис. Углы треугольника равны $60^\circ$. Вторая окружность касается прямых $AB$ и $AC$, поэтому её центр $O_2$ лежит на биссектрисе угла $\angle BAC$. Следовательно, точки $A$, $O_2$ и $O_1$ лежат на одной прямой.

Расстояние от вершины $A$ до центра описанной окружности $O_1$ по определению равно радиусу этой окружности: $AO_1 = R$.

Для нахождения расстояния $AO_2$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AO_2K$, где $K$ — точка касания второй окружности с прямой $AC$. В этом треугольнике катет $O_2K = r$, а угол $\angle KAO_2 = \angle BAC / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$. Тогда $\sin(30^\circ) = \frac{O_2K}{AO_2} = \frac{r}{AO_2}$, откуда, учитывая, что $\sin(30^\circ) = 1/2$, получаем $AO_2 = 2r$.

Так как точки $A$, $O_1$ и $O_2$ коллинеарны, расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ составляет $O_1O_2 = |AO_1 - AO_2| = |R - 2r|$.

Условие касания двух окружностей требует, чтобы расстояние между их центрами было равно либо сумме их радиусов (внешнее касание), либо модулю разности их радиусов (внутреннее касание). Это приводит к двум возможным случаям.

1. Случай внутреннего касания.
В этом случае расстояние между центрами равно $O_1O_2 = |R - r|$. Приравнивая выражения, получаем $|R - 2r| = |R - r|$. Так как при внутреннем касании $R \neq r$, это уравнение может быть верным, только если выражения под модулями имеют противоположные знаки: $R - 2r = -(R - r)$. Это дает $R - 2r = r - R$, откуда $2R = 3r$. Отношение радиусов в этом случае $\frac{R}{r} = \frac{3}{2}$.

2. Случай внешнего касания.
В этом случае расстояние между центрами равно $O_1O_2 = R + r$. Приравнивая выражения, получаем $|R - 2r| = R + r$. Это уравнение может быть верным, только если выражение под модулем отрицательно: $R - 2r = -(R + r)$. Это дает $R - 2r = -R - r$, откуда $2R = r$. Отношение радиусов в этом случае $\frac{r}{R} = 2$, или $\frac{R}{r} = \frac{1}{2}$.

Поскольку в условии задачи не указан тип касания, существуют два возможных отношения радиусов.

Ответ: $3:2$ (или $2:3$) и $1:2$ (или $2:1$).

19.48. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $CAD$ и $CBD$ пересекаются в точке, принадлежащей стороне $CD$. Докажите, что биссектрисы углов $ACB$ и $ADB$ пересекаются в точке, принадлежащей стороне $AB$.

Пусть в выпуклом четырехугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $\angle CAD$ и $\angle CBD$ пересекаются в точке $K$, принадлежащей стороне $CD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. По условию, $AK$ является биссектрисой угла $\angle CAD$. Так как точка $K$ лежит на стороне $CD$, то по свойству биссектрисы угла треугольника (она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам), мы можем записать следующее соотношение: $$ \frac{CK}{KD} = \frac{AC}{AD} $$

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. По условию, $BK$ является биссектрисой угла $\angle CBD$. Так как точка $K$ лежит на стороне $CD$, то для $\triangle BCD$ справедливо: $$ \frac{CK}{KD} = \frac{BC}{BD} $$

Приравнивая правые части полученных равенств, получаем: $$ \frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD} $$ Это равенство можно переписать в виде пропорции, поменяв местами средние члены: $$ \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD} \quad (*)$$

Теперь перейдем к доказательству утверждения задачи. Нам нужно доказать, что биссектрисы углов $\angle ACB$ и $\angle ADB$ пересекаются в точке, принадлежащей стороне $AB$.

Пусть биссектриса угла $\angle ACB$ в треугольнике $\triangle ACB$ пересекает сторону $AB$ в точке $L$. По свойству биссектрисы: $$ \frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} $$

Пусть биссектриса угла $\angle ADB$ в треугольнике $\triangle ADB$ пересекает сторону $AB$ в точке $L'$. По свойству биссектрисы: $$ \frac{AL'}{L'B} = \frac{AD}{BD} $$

Используя полученное ранее соотношение $(*)$, мы можем заключить, что правые части двух последних равенств равны: $$ \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD} \implies \frac{AL}{LB} = \frac{AL'}{L'B} $$

Поскольку точки $L$ и $L'$ обе лежат на отрезке $AB$ и делят его в одном и том же отношении, считая от точки $A$, они должны совпадать ($L = L'$).

Это означает, что биссектрисы углов $\angle ACB$ и $\angle ADB$ пересекают сторону $AB$ в одной и той же точке. Следовательно, точка их пересечения лежит на стороне $AB$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.