Номер 19.48, страница 211 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.48. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $CAD$ и $CBD$ пересекаются в точке, принадлежащей стороне $CD$. Докажите, что биссектрисы углов $ACB$ и $ADB$ пересекаются в точке, принадлежащей стороне $AB$.

Пусть в выпуклом четырехугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $\angle CAD$ и $\angle CBD$ пересекаются в точке $K$, принадлежащей стороне $CD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. По условию, $AK$ является биссектрисой угла $\angle CAD$. Так как точка $K$ лежит на стороне $CD$, то по свойству биссектрисы угла треугольника (она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам), мы можем записать следующее соотношение: $$ \frac{CK}{KD} = \frac{AC}{AD} $$

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. По условию, $BK$ является биссектрисой угла $\angle CBD$. Так как точка $K$ лежит на стороне $CD$, то для $\triangle BCD$ справедливо: $$ \frac{CK}{KD} = \frac{BC}{BD} $$

Приравнивая правые части полученных равенств, получаем: $$ \frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD} $$ Это равенство можно переписать в виде пропорции, поменяв местами средние члены: $$ \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD} \quad (*)$$

Теперь перейдем к доказательству утверждения задачи. Нам нужно доказать, что биссектрисы углов $\angle ACB$ и $\angle ADB$ пересекаются в точке, принадлежащей стороне $AB$.

Пусть биссектриса угла $\angle ACB$ в треугольнике $\triangle ACB$ пересекает сторону $AB$ в точке $L$. По свойству биссектрисы: $$ \frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} $$

Пусть биссектриса угла $\angle ADB$ в треугольнике $\triangle ADB$ пересекает сторону $AB$ в точке $L'$. По свойству биссектрисы: $$ \frac{AL'}{L'B} = \frac{AD}{BD} $$

Используя полученное ранее соотношение $(*)$, мы можем заключить, что правые части двух последних равенств равны: $$ \frac{AC}{BC} = \frac{AD}{BD} \implies \frac{AL}{LB} = \frac{AL'}{L'B} $$

Поскольку точки $L$ и $L'$ обе лежат на отрезке $AB$ и делят его в одном и том же отношении, считая от точки $A$, они должны совпадать ($L = L'$).

Это означает, что биссектрисы углов $\angle ACB$ и $\angle ADB$ пересекают сторону $AB$ в одной и той же точке. Следовательно, точка их пересечения лежит на стороне $AB$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.