Номер 20.3, страница 216 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.3. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 20.14),

$AB = 5$ см, $AD = 7$ см, $AA_1 = 12$ см. Найдите угол между:

1) прямой $DC_1$ и плоскостью $BCC_1$;

2) прямой $B_1D$ и плоскостью $ABB_1$.

Рис. 20.14

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со сторонами $AB = 5$ см, $AD = 7$ см и $AA_1 = 12$ см.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдём проекцию прямой $DC_1$ на плоскость $BCC_1$. Плоскость $BCC_1$ совпадает с плоскостью боковой грани $BCC_1B_1$.

Точка $C_1$ уже лежит в плоскости $BCC_1$, следовательно, проекцией точки $C_1$ на эту плоскость является сама точка $C_1$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, ребро $CD$ перпендикулярно плоскости грани $BCC_1B_1$ (так как $CD \perp BC$ и $CD \perp CC_1$). Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $BCC_1$ является точка $C$.

Таким образом, прямая $CC_1$ является проекцией прямой $DC_1$ на плоскость $BCC_1$.

Искомый угол — это угол между наклонной $DC_1$ и её проекцией $CC_1$, то есть угол $\angle DC_1C$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DC_1C$. Так как ребро $CD$ перпендикулярно плоскости $BCC_1$, оно перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $CC_1$. Значит, треугольник $\triangle DC_1C$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

В этом треугольнике нам известны длины катетов: $CD = AB = 5$ см и $CC_1 = AA_1 = 12$ см.

Тангенс искомого угла $\angle DC_1C$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $ \tan(\angle DC_1C) = \frac{CD}{CC_1} = \frac{5}{12} $

Следовательно, искомый угол равен $ \arctan\left(\frac{5}{12}\right) $.

Ответ: $ \arctan\left(\frac{5}{12}\right) $

Аналогично первому пункту, найдём проекцию прямой $B_1D$ на плоскость $ABB_1$. Плоскость $ABB_1$ совпадает с плоскостью передней грани $ABB_1A_1$.

Точка $B_1$ уже лежит в плоскости $ABB_1$, значит, её проекция — это сама точка $B_1$.

Ребро $AD$ перпендикулярно плоскости грани $ABB_1A_1$ (так как $AD \perp AB$ и $AD \perp AA_1$). Следовательно, проекцией точки $D$ на плоскость $ABB_1$ является точка $A$.

Таким образом, прямая $AB_1$ является проекцией прямой $B_1D$ на плоскость $ABB_1$.

Искомый угол — это угол между наклонной $B_1D$ и её проекцией $AB_1$, то есть угол $\angle DB_1A$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DB_1A$. Так как ребро $AD$ перпендикулярно плоскости $ABB_1$, оно перпендикулярно прямой $AB_1$, лежащей в этой плоскости. Значит, треугольник $\triangle DB_1A$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$.

В этом треугольнике катет $AD = 7$ см. Длину второго катета $AB_1$ найдём из прямоугольного треугольника $\triangle ABB_1$ (грань $ABB_1A_1$) по теореме Пифагора: $ AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 $ $ AB_1 = \sqrt{169} = 13 $ см.

Теперь найдём тангенс искомого угла $\angle DB_1A$ в прямоугольном треугольнике $\triangle DB_1A$: $ \tan(\angle DB_1A) = \frac{AD}{AB_1} = \frac{7}{13} $

Следовательно, искомый угол равен $ \arctan\left(\frac{7}{13}\right) $.

Ответ: $ \arctan\left(\frac{7}{13}\right) $