Номер 20.9, страница 217 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.9. Основание прямого параллелепипеда — ромб со стороной 6 см и углом 60°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть дан прямой параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которого лежит ромб $ABCD$.

По условию, сторона ромба $a = AB = BC = CD = DA = 6$ см, а один из углов равен $60^\circ$. Пусть $\angle BAD = 60^\circ$. Тогда смежный с ним угол ромба $\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Найдем диагонали ромба $d_1$ и $d_2$.

Меньшая диагональ ромба $d_1 = BD$ лежит напротив меньшего угла $\angle BAD$. Треугольник $ABD$ является равнобедренным, так как $AB = AD = 6$ см. Поскольку угол между равными сторонами равен $60^\circ$, треугольник $ABD$ является равносторонним. Следовательно, меньшая диагональ ромба равна его стороне:

$d_1 = BD = 6$ см.

Большая диагональ ромба $d_2 = AC$ лежит напротив большего угла $\angle ABC = 120^\circ$. Для нахождения ее длины воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$d_2^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)$

$d_2^2 = 36 + 36 - 72 \cdot (-\frac{1}{2})$

$d_2^2 = 72 + 36 = 108$

$d_2 = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Параллелепипед является прямым, это означает, что его боковые ребра перпендикулярны основанию. Пусть высота параллелепипеда равна $H$.

Квадрат диагонали прямого параллелепипеда равен сумме квадрата соответствующей диагонали основания и квадрата высоты. Меньшая диагональ параллелепипеда, $D_{мен}$, соответствует меньшей диагонали основания $d_1$. Ее квадрат равен $D_{мен}^2 = d_1^2 + H^2$.

По условию задачи, меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали его основания, то есть $D_{мен} = d_2$.

Возведем это равенство в квадрат: $D_{мен}^2 = d_2^2$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для $D_{мен}^2$:

$d_1^2 + H^2 = d_2^2$

Подставим найденные значения длин диагоналей основания:

$6^2 + H^2 = (6\sqrt{3})^2$

$36 + H^2 = 108$

$H^2 = 108 - 36$

$H^2 = 72$

$H = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания.

Периметр основания (ромба) равен:

$P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 24 \cdot 6\sqrt{2} = 144\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $144\sqrt{2}$ см$^2$.