Страница 208 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.15. Прямоугольный треугольник $ABC$ $(\angle ACB = 90^\circ)$ является основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$. Плоскость, проходящая через прямую $AC$, образует с плоскостью основания призмы угол $\beta$ и пересекает ребро $BB_1$ в точке $D$. Найдите площадь образовавшегося сечения, если $\angle BAC = \alpha$, $BD = a$.

По условию, секущая плоскость проходит через прямую $AC$ и точку $D$ на ребре $BB_1$. Следовательно, искомое сечение — это треугольник $ADC$.

Так как призма $ABCA_1B_1C_1$ — прямая, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. В частности, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Поскольку точка $D$ лежит на ребре $BB_1$, отрезок $DB$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$ и, следовательно, перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B$. Таким образом, $DB \perp BC$, и треугольник $DBC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DBC = 90^\circ$.

В основании призмы лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с $\angle ACB = 90^\circ$, что означает $BC \perp AC$. Так как $BC$ является ортогональной проекцией наклонной $DC$ на плоскость основания $(ABC)$, то по теореме о трех перпендикулярах, если проекция $BC$ перпендикулярна прямой $AC$, то и наклонная $DC$ перпендикулярна $AC$. Следовательно, $\angle ACD = 90^\circ$, и треугольник $ADC$ также является прямоугольным.

Угол между плоскостью сечения $(ADC)$ и плоскостью основания $(ABC)$ — это двугранный угол, ребром которого является прямая $AC$. Для нахождения его линейного угла нужно построить перпендикуляры к ребру $AC$ в каждой из плоскостей. Мы уже установили, что $BC \perp AC$ в плоскости $(ABC)$ и $DC \perp AC$ в плоскости $(ADC)$. Значит, $\angle DCB$ является линейным углом данного двугранного угла. По условию, этот угол равен $\beta$, то есть $\angle DCB = \beta$.

Площадь искомого сечения, которым является прямоугольный треугольник $ADC$, вычисляется по формуле $S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC$. Для нахождения площади необходимо определить длины катетов $AC$ и $DC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DBC$ ($\angle DBC = 90^\circ$). В нем известны катет $BD = a$ и прилежащий к катету $BC$ угол $\angle DCB = \beta$. Найдем катет $BC$ и гипотенузу $DC$:
Из $\tan(\beta) = \frac{BD}{BC}$, получаем $BC = \frac{BD}{\tan(\beta)} = a \cot(\beta)$.
Из $\sin(\beta) = \frac{BD}{DC}$, получаем $DC = \frac{BD}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\sin(\beta)}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ в основании ($\angle ACB = 90^\circ$). В нем известны угол $\angle BAC = \alpha$ и катет $BC = a \cot(\beta)$. Найдем второй катет $AC$:
Из $\tan(\alpha) = \frac{BC}{AC}$, получаем $AC = \frac{BC}{\tan(\alpha)} = \frac{a \cot(\beta)}{\tan(\alpha)} = a \cot(\alpha) \cot(\beta)$.

Подставим найденные выражения для $AC$ и $DC$ в формулу для площади треугольника $ADC$:
$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DC = \frac{1}{2} \cdot (a \cot(\alpha) \cot(\beta)) \cdot \left(\frac{a}{\sin(\beta)}\right) = \frac{a^2 \cot(\alpha) \cot(\beta)}{2 \sin(\beta)}$.

Упростим полученное выражение, используя тождество $\cot(\beta) = \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)}$:
$S_{ADC} = \frac{a^2 \cot(\alpha) \frac{\cos(\beta)}{\sin(\beta)}}{2 \sin(\beta)} = \frac{a^2 \cot(\alpha) \cos(\beta)}{2 \sin^2(\beta)}$.

Ответ: $\frac{a^2 \cot(\alpha) \cos(\beta)}{2 \sin^2(\beta)}$

19.16. Основанием прямой призмы является ромб с острым углом $\alpha$, большая диагональ ромба равна $d$. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания провели плоскость, образующую с плоскостью нижнего основания призмы угол $\beta$. Найдите:

1) высоту призмы;

2) площадь образовавшегося сечения призмы.

Пусть дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которой лежит ромб $ABCD$. Острый угол ромба $\angle BAD = \alpha$. Большая диагональ ромба $AC = d$, следовательно, она соединяет вершины острых углов.

Сечение призмы проходит через меньшую диагональ нижнего основания $BD$ и вершину острого угла верхнего основания, например $A_1$. Таким образом, сечение представляет собой треугольник $BDA_1$.

Плоскость сечения образует с плоскостью нижнего основания угол $\beta$. Угол между двумя плоскостями измеряется линейным углом, который является углом между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения в одной точке. Линия пересечения плоскостей — диагональ $BD$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. В ромбе диагонали перпендикулярны, следовательно, $AO \perp BD$.

Поскольку призма прямая, ее боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит $AA_1 \perp AO$. Следовательно, треугольник $A_1AO$ — прямоугольный.

$AO$ является проекцией наклонной $A_1O$ на плоскость основания. Так как проекция $AO$ перпендикулярна прямой $BD$, лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $A_1O$ перпендикулярна $BD$.

Таким образом, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен углу между перпендикулярами $A_1O$ и $AO$ к общей прямой $BD$, то есть $\angle A_1OA = \beta$.

Рассмотрим свойства ромба $ABCD$. Диагонали в точке пересечения делятся пополам, поэтому $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{d}{2}$. Диагонали также являются биссектрисами углов, поэтому $\angle BAO = \frac{\alpha}{2}$.

1) высоту призмы

Высота призмы $H$ равна длине бокового ребра $AA_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AO$ (с прямым углом $A$). Из определения тангенса угла имеем: $\tan(\angle A_1OA) = \frac{AA_1}{AO}$, что эквивалентно $\tan(\beta) = \frac{H}{AO}$.

Отсюда выразим высоту $H$: $H = AO \cdot \tan(\beta)$.

Подставим известное значение $AO = \frac{d}{2}$: $H = \frac{d}{2} \tan(\beta)$.

Ответ: $\frac{d}{2} \tan(\beta)$

2) площадь образовавшегося сечения призмы

Площадь сечения $S$ — это площадь треугольника $BDA_1$. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

В качестве основания возьмем диагональ $BD$, а в качестве высоты — отрезок $A_1O$ (мы доказали, что $A_1O \perp BD$). Таким образом, $S = \frac{1}{2} BD \cdot A_1O$.

Найдем длину $BD$. Из прямоугольного треугольника $AOB$ ($\angle AOB=90^\circ$): $\tan(\angle BAO) = \frac{OB}{AO}$, откуда $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{OB}{d/2}$, и $OB = \frac{d}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Поскольку $BD = 2 \cdot OB$, то $BD = 2 \cdot \frac{d}{2} \tan(\frac{\alpha}{2}) = d \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Теперь найдем длину высоты $A_1O$ из прямоугольного треугольника $A_1AO$: $\cos(\angle A_1OA) = \frac{AO}{A_1O}$. Отсюда $\cos(\beta) = \frac{d/2}{A_1O}$, и $A_1O = \frac{d/2}{\cos(\beta)} = \frac{d}{2\cos(\beta)}$.

Подставим найденные значения $BD$ и $A_1O$ в формулу для площади сечения: $S = \frac{1}{2} \cdot \left(d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{d}{2\cos(\beta)}\right) = \frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{4\cos(\beta)}$.

Можно проверить результат, используя формулу площади ортогональной проекции. Проекцией сечения $BDA_1$ на плоскость основания является треугольник $BDA$. Его площадь $S_{BDA} = S \cdot \cos(\beta)$. $S_{BDA} = \frac{1}{2} BD \cdot AO = \frac{1}{2} \cdot \left(d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(\frac{d}{2}\right) = \frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{4}$. Тогда $S = \frac{S_{BDA}}{\cos(\beta)} = \frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{4\cos(\beta)}$. Результаты совпали.

Ответ: $\frac{d^2 \tan(\alpha/2)}{4\cos(\beta)}$

19.17. Сторона основания правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 2 см, а боковое ребро — 6 см. Диагонали боковой грани $AA_1B_1B$ пересекаются в точке $D$. Найдите угол между прямой $CD$ и плоскостью $ABC$.

По условию задачи дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Это означает, что ее основаниями являются равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, а боковые ребра ($AA_1, BB_1, CC_1$) перпендикулярны плоскостям оснований. Сторона основания равна $AB = BC = CA = 2$ см, а боковое ребро $AA_1 = 6$ см.

Боковая грань $AA_1B_1B$ является прямоугольником. Точка $D$ — это точка пересечения диагоналей $A_1B$ и $AB_1$ этого прямоугольника. В прямоугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам, следовательно, точка $D$ является серединой каждой из диагоналей.

Угол между прямой $CD$ и плоскостью $ABC$ — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Для нахождения этого угла необходимо найти проекцию прямой $CD$ на плоскость $ABC$. Так как точка $C$ уже лежит в этой плоскости, нам достаточно найти проекцию точки $D$ на плоскость $ABC$.

Опустим перпендикуляр из точки $D$ на плоскость $ABC$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Рассмотрим грань $AA_1B_1B$. Так как $D$ — середина диагонали $A_1B$, то ее проекция на плоскость $ABC$ будет лежать на проекции отрезка $A_1B$. Проекцией отрезка $A_1B$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AB$.

Пусть $H$ — середина отрезка $AB$. В треугольнике $A_1AB$ отрезок $DH$ соединяет середины сторон $A_1B$ и $AB$. Следовательно, $DH$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $DH$ параллельна стороне $AA_1$. Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Значит, и $DH \perp (ABC)$. Таким образом, точка $H$ является ортогональной проекцией точки $D$ на плоскость $ABC$.

Следовательно, прямая $CH$ является проекцией наклонной $CD$ на плоскость $ABC$. Искомый угол между прямой $CD$ и плоскостью $ABC$ — это угол $\angle DCH$.

Рассмотрим треугольник $DCH$. Поскольку $DH \perp (ABC)$, а прямая $CH$ лежит в этой плоскости, то $DH \perp CH$. Таким образом, треугольник $DCH$ является прямоугольным с прямым углом $H$.

Найдем длины катетов этого треугольника.Катет $DH$ является средней линией треугольника $A_1AB$ и параллелен $AA_1$, поэтому его длина равна половине длины бокового ребра:$DH = \frac{1}{2} AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Катет $CH$ находится в основании призмы, в равностороннем треугольнике $ABC$. Так как $H$ — середина стороны $AB$, отрезок $CH$ является медианой, а следовательно, и высотой треугольника $ABC$. Длину высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.$CH = \frac{AB\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $DCH$ известны длины обоих катетов. Мы можем найти тангенс угла $\angle DCH$:$\tan(\angle DCH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{DH}{CH} = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Упростим полученное выражение:$\tan(\angle DCH) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle DCH = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

19.18. Сторона основания правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 1 см, а боковое ребро — $\sqrt{5}$ см. Диагонали боковой грани $CC_1D_1D$ пересекаются в точке $M$. Найдите угол между прямой $AM$ и плоскостью $ABC$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — правильная призма, ее основание $ABCD$ является квадратом, а боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. По условию задачи сторона основания $AB = 1$ см, а боковое ребро $CC_1 = \sqrt{5}$ см.

Точка $M$ является точкой пересечения диагоналей боковой грани $CC_1D_1D$, которая представляет собой прямоугольник. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому $M$ — середина диагоналей $CD_1$ и $C_1D$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Нам нужно найти угол между прямой $AM$ и плоскостью основания $ABC$.

Для нахождения этого угла построим проекцию прямой $AM$ на плоскость $ABC$.Точка $A$ лежит в плоскости $ABC$, значит, её проекция — это сама точка $A$.Для нахождения проекции точки $M$ опустим перпендикуляр $MP$ на плоскость $ABC$. Точка $P$ будет являться проекцией точки $M$.Прямая $AP$ является проекцией прямой $AM$ на плоскость $ABC$.Искомый угол — это угол $\angle MAP$ в прямоугольном треугольнике $\triangle AMP$ (прямой угол $\angle MPA$, так как $MP \perp ABC$).

Для нахождения угла $\angle MAP$ найдем длины катетов $MP$ и $AP$.1. Длина катета $MP$ равна расстоянию от точки $M$ до плоскости $ABC$. Так как $M$ — середина отрезка $C_1D$, а точки $C_1$ и $D$ находятся на расстояниях $CC_1 = \sqrt{5}$ и $0$ от плоскости $ABC$ соответственно, то расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ равно среднему арифметическому этих расстояний:$MP = \frac{CC_1 + 0}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

Также можно отметить, что проекцией отрезка $C_1D$ на плоскость $ABC$ является отрезок $CD$. Поскольку $M$ — середина $C_1D$, ее проекция $P$ будет серединой отрезка $CD$.

2. Найдем длину катета $AP$. В плоскости основания $ABCD$ рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADP$ (угол $\angle D = 90^\circ$).Сторона квадрата $AD = 1$ см.Точка $P$ — середина стороны $CD$, поэтому $DP = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$ см.По теореме Пифагора для треугольника $\triangle ADP$:$AP^2 = AD^2 + DP^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.Следовательно, $AP = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

3. Теперь найдем тангенс искомого угла $\angle MAP$ в прямоугольном треугольнике $\triangle AMP$:$\tan(\angle MAP) = \frac{MP}{AP} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = 1$.Угол, тангенс которого равен 1, — это $45^\circ$.Таким образом, угол между прямой $AM$ и плоскостью $ABC$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

19.19. Площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной призмы равна $S$. Чему равна площадь боковой поверхности призмы?

Поскольку призма правильная четырёхугольная, её основанием является квадрат, а боковые грани — равные прямоугольники, перпендикулярные основанию.

Пусть сторона квадрата в основании равна $a$, а высота призмы равна $h$.

Диагональное сечение такой призмы представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника — высота призмы $h$, а другая — диагональ основания $d$.

Диагональ квадрата со стороной $a$ находится по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Площадь диагонального сечения, по условию, равна $S$. Таким образом, мы можем записать: $S = d \cdot h = (a\sqrt{2}) \cdot h$.

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) — это сумма площадей четырёх её боковых граней. Каждая боковая грань — это прямоугольник со сторонами $a$ и $h$, и его площадь равна $a \cdot h$. Следовательно, площадь боковой поверхности равна: $S_{бок} = 4 \cdot a \cdot h$.

Теперь выразим $S_{бок}$ через $S$. Из формулы для площади диагонального сечения $S = a\sqrt{2}h$ выразим произведение $ah$: $ah = \frac{S}{\sqrt{2}}$.

Подставим это выражение в формулу для площади боковой поверхности: $S_{бок} = 4 \cdot (ah) = 4 \cdot \frac{S}{\sqrt{2}}$.

Упростим полученное выражение, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $S_{бок} = \frac{4S}{\sqrt{2}} = \frac{4S\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4S\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}S$.

Ответ: $2\sqrt{2}S$.

19.20. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 5 см, а диагональ боковой грани — 4 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной четырёхугольной призмы, а $h$ — её высота. Поскольку призма правильная, в её основании лежит квадрат, а боковые грани — прямоугольники.

Рассмотрим боковую грань. Это прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Диагональ боковой грани $d_{грани}$ равна 4 см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $a$, $h$ и диагональю $d_{грани}$, имеем:

$a^2 + h^2 = d_{грани}^2$

$a^2 + h^2 = 4^2 = 16$ (1)

Теперь рассмотрим диагональ призмы $D$, которая равна 5 см. Диагональ призмы, её высота $h$ и диагональ основания $d_{осн}$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

$D^2 = h^2 + d_{осн}^2$

Основание призмы — квадрат со стороной $a$. Квадрат его диагонали $d_{осн}^2$ равен:

$d_{осн}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Подставим это выражение в формулу для диагонали призмы:

$D^2 = h^2 + 2a^2$

$5^2 = h^2 + 2a^2$

$25 = 2a^2 + h^2$ (2)

Получили систему из двух уравнений (1) и (2):

$\begin{cases} a^2 + h^2 = 16 \\ 2a^2 + h^2 = 25 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(2a^2 + h^2) - (a^2 + h^2) = 25 - 16$

$a^2 = 9$

$a = 3$ см (так как длина стороны — положительная величина).

Подставим найденное значение $a^2$ в первое уравнение, чтобы найти $h^2$:

$9 + h^2 = 16$

$h^2 = 16 - 9 = 7$

$h = \sqrt{7}$ см.

Теперь найдём площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$. Она равна сумме площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания (квадрата):

$S_{осн} = a^2 = 3^2 = 9$ см².

Площадь боковой поверхности — это сумма площадей четырёх одинаковых боковых граней. Она также равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту $h$:

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 3 = 12$ см.

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 12 \cdot \sqrt{7} = 12\sqrt{7}$ см².

Вычисляем площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot 9 + 12\sqrt{7} = 18 + 12\sqrt{7}$ см².

Ответ: $18 + 12\sqrt{7}$ см².

19.21. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является равнобокая трапеция $ABCD$, основания которой $BC$ и $AD$ соответственно равны 11 см и 21 см, а боковая сторона — 13 см. Площадь диагонального сечения призмы равна 180 $\text{см}^2$. Найдите:

1) площадь боковой поверхности призмы;

2) площадь сечения призмы, проходящего через рёбра $AD$ и $B_1C_1$.

1) площадь боковой поверхности призмы;

Площадь боковой поверхности прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы (длина бокового ребра).
Основанием призмы является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC = 11$ см, $AD = 21$ см и боковыми сторонами $AB = CD = 13$ см.
Найдем периметр основания:
$P_{осн} = AB + BC + CD + AD = 13 + 11 + 13 + 21 = 58$ см.
Чтобы найти высоту призмы $H$, воспользуемся данными о площади диагонального сечения. Диагональное сечение призмы, например $ACC_1A_1$, является прямоугольником со сторонами $AC$ (диагональ основания) и $AA_1 = H$. Его площадь равна $S_{сеч} = AC \cdot H = 180$ см².
Сначала найдем длину диагонали основания $AC$. Для этого проведем в трапеции высоту $CH'$ из вершины $C$ к основанию $AD$. Так как трапеция равнобокая, отрезок $H'D$ можно найти по формуле:
$H'D = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
В прямоугольном треугольнике $CH'D$ по теореме Пифагора найдем высоту трапеции $h = CH'$:
$h^2 = CD^2 - H'D^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
$h = \sqrt{144} = 12$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH'$. Его катеты $CH' = 12$ см и $AH' = AD - H'D = 21 - 5 = 16$ см.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AC$:
$AC^2 = AH'^2 + CH'^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400$.
$AC = \sqrt{400} = 20$ см.
Теперь мы можем найти высоту призмы $H$ из площади диагонального сечения:
$H = \frac{S_{сеч}}{AC} = \frac{180}{20} = 9$ см.
Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 58 \cdot 9 = 522$ см².
Ответ: 522 см².

2) площадь сечения призмы, проходящего через рёбра AD и B₁C₁;

Сечение, проходящее через рёбра $AD$ и $B_1C_1$, является четырёхугольником $AB_1C_1D$.
Поскольку рёбра $AD$ и $BC$ параллельны, а ребро $BC$ параллельно ребру $B_1C_1$ (так как основания призмы параллельны), то $AD \parallel B_1C_1$. Следовательно, сечение $AB_1C_1D$ является трапецией с основаниями $AD = 21$ см и $B_1C_1 = 11$ см.
Так как исходная трапеция $ABCD$ равнобокая ($AB=CD=13$), а призма прямая ($BB_1 \perp AB$, $CC_1 \perp CD$), то боковые стороны этой трапеции-сечения равны. Проверим это по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников $ABB_1$ и $CDD_1$:
$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{13^2 + 9^2} = \sqrt{169 + 81} = \sqrt{250}$ см.
$DC_1 = \sqrt{DC^2 + CC_1^2} = \sqrt{13^2 + 9^2} = \sqrt{169 + 81} = \sqrt{250}$ см.
Так как $AB_1 = DC_1$, трапеция $AB_1C_1D$ является равнобокой.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h_{сеч}$, где $a$ и $b$ — основания, а $h_{сеч}$ — высота трапеции.
Высотой равнобокой трапеции $AB_1C_1D$ является отрезок, соединяющий середины её оснований. Пусть $N$ — середина $AD$, а $M_1$ — середина $B_1C_1$. Тогда высота $h_{сеч} = NM_1$.
Чтобы найти длину $NM_1$, рассмотрим прямоугольный треугольник $NMM_1$, где $M$ — середина ребра $BC$. Катет $MM_1$ равен высоте призмы $H = 9$ см. Катет $NM$ — это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции $ABCD$, который является её высотой. Таким образом, $NM = h = 12$ см.
По теореме Пифагора для треугольника $NMM_1$:
$h_{сеч}^2 = NM_1^2 = NM^2 + MM_1^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$.
$h_{сеч} = \sqrt{225} = 15$ см.
Теперь вычислим площадь сечения:
$S_{сеч} = \frac{AD + B_1C_1}{2} \cdot h_{сеч} = \frac{21 + 11}{2} \cdot 15 = \frac{32}{2} \cdot 15 = 16 \cdot 15 = 240$ см².
Ответ: 240 см².

19.22. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна 10 см, а площадь боковой поверхности — $288 \text{ см}^2$. Найдите сторону основания и высоту призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ — ее высота.

Поскольку призма правильная, ее боковые грани — это шесть одинаковых прямоугольников со сторонами $a$ и $h$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ — это сумма площадей шести боковых граней.$S_{бок} = 6 \cdot a \cdot h$

По условию, $S_{бок} = 288 \text{ см}^2$. Подставим это значение в формулу:$6ah = 288$Разделим обе части на 6:$ah = 48$

Диагональ боковой грани $d$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются сторона основания $a$ и высота призмы $h$. По теореме Пифагора:$a^2 + h^2 = d^2$

По условию, $d = 10 \text{ см}$. Подставим это значение в уравнение:$a^2 + h^2 = 10^2$$a^2 + h^2 = 100$

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $a$ и $h$:$\begin{cases} ah = 48 \\ a^2 + h^2 = 100 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $h$:$h = \frac{48}{a}$

Подставим это выражение во второе уравнение:$a^2 + \left(\frac{48}{a}\right)^2 = 100$$a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100$

Умножим все члены уравнения на $a^2$ (так как сторона основания $a \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:$a^4 + 2304 = 100a^2$$a^4 - 100a^2 + 2304 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = a^2$ (где $t>0$):$t^2 - 100t + 2304 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784$$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем корни для $t$:$t_1 = \frac{100 + 28}{2} = \frac{128}{2} = 64$$t_2 = \frac{100 - 28}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Оба корня положительны. Теперь вернемся к переменной $a$:1. Если $a^2 = t_1 = 64$, то $a = \sqrt{64} = 8$ см. Тогда высота $h = \frac{48}{a} = \frac{48}{8} = 6$ см.

2. Если $a^2 = t_2 = 36$, то $a = \sqrt{36} = 6$ см. Тогда высота $h = \frac{48}{a} = \frac{48}{6} = 8$ см.

Оба решения удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: сторона основания — 6 см и высота призмы — 8 см, или сторона основания — 8 см и высота призмы — 6 см.

19.23. Плоскости граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ перпендикулярны, $AA_1 = 9$ см. Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BB_1$ равно 8 см, а между прямыми $AA_1$ и $CC_1$ — 15 см.

Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{перп} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $P_{перп}$ — периметр перпендикулярного сечения призмы.

Из условия задачи известно, что длина бокового ребра $l = AA_1 = 9$ см.

Для нахождения площади боковой поверхности необходимо найти периметр перпендикулярного сечения. Перпендикулярное сечение — это многоугольник, полученный при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам.

Построим такое сечение. Возьмем на ребре $AA_1$ точку $K$ и проведём через неё плоскость, перпендикулярную $AA_1$. Эта плоскость пересечёт боковые грани призмы по треугольнику $KLM$, где $L$ лежит на ребре $BB_1$, а $M$ — на ребре $CC_1$. Треугольник $KLM$ является перпендикулярным сечением призмы.

По определению, стороны сечения перпендикулярны боковым рёбрам. Отрезок $KL$ соединяет ребра $AA_1$ и $BB_1$ и перпендикулярен им, следовательно, его длина равна расстоянию между этими рёбрами. По условию, $KL = 8$ см.

Аналогично, отрезок $KM$ соединяет рёбра $AA_1$ и $CC_1$ и перпендикулярен им, следовательно, его длина равна расстоянию между этими рёбрами. По условию, $KM = 15$ см.

По условию, плоскости граней $AA_1B_1B$ и $AA_1C_1C$ взаимно перпендикулярны. Отрезок $KL$ лежит в плоскости $(AA_1B_1B)$, а отрезок $KM$ — в плоскости $(AA_1C_1C)$. Поскольку оба отрезка перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей (ребру $AA_1$), угол между ними, $\angle LKM$, равен двугранному углу между данными плоскостями, то есть $90^\circ$.

Таким образом, перпендикулярное сечение $KLM$ является прямоугольным треугольником с катетами $KL = 8$ см и $KM = 15$ см.

Найдём гипотенузу $LM$ по теореме Пифагора:

$LM^2 = KL^2 + KM^2$

$LM^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$LM = \sqrt{289} = 17$ см.

Теперь вычислим периметр перпендикулярного сечения $P_{перп}$:

$P_{перп} = KL + KM + LM = 8 + 15 + 17 = 40$ см.

Наконец, найдём площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{перп} \cdot l = 40 \cdot 9 = 360$ см².

Ответ: 360 см².