Номер 19.22, страница 208 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.22. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна 10 см, а площадь боковой поверхности — $288 \text{ см}^2$. Найдите сторону основания и высоту призмы.

Пусть $a$ — сторона основания правильной шестиугольной призмы, а $h$ — ее высота.

Поскольку призма правильная, ее боковые грани — это шесть одинаковых прямоугольников со сторонами $a$ и $h$.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ — это сумма площадей шести боковых граней.$S_{бок} = 6 \cdot a \cdot h$

По условию, $S_{бок} = 288 \text{ см}^2$. Подставим это значение в формулу:$6ah = 288$Разделим обе части на 6:$ah = 48$

Диагональ боковой грани $d$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются сторона основания $a$ и высота призмы $h$. По теореме Пифагора:$a^2 + h^2 = d^2$

По условию, $d = 10 \text{ см}$. Подставим это значение в уравнение:$a^2 + h^2 = 10^2$$a^2 + h^2 = 100$

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $a$ и $h$:$\begin{cases} ah = 48 \\ a^2 + h^2 = 100 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $h$:$h = \frac{48}{a}$

Подставим это выражение во второе уравнение:$a^2 + \left(\frac{48}{a}\right)^2 = 100$$a^2 + \frac{2304}{a^2} = 100$

Умножим все члены уравнения на $a^2$ (так как сторона основания $a \neq 0$), чтобы избавиться от дроби:$a^4 + 2304 = 100a^2$$a^4 - 100a^2 + 2304 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $t = a^2$ (где $t>0$):$t^2 - 100t + 2304 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2304 = 10000 - 9216 = 784$$\sqrt{D} = \sqrt{784} = 28$

Найдем корни для $t$:$t_1 = \frac{100 + 28}{2} = \frac{128}{2} = 64$$t_2 = \frac{100 - 28}{2} = \frac{72}{2} = 36$

Оба корня положительны. Теперь вернемся к переменной $a$:1. Если $a^2 = t_1 = 64$, то $a = \sqrt{64} = 8$ см. Тогда высота $h = \frac{48}{a} = \frac{48}{8} = 6$ см.

2. Если $a^2 = t_2 = 36$, то $a = \sqrt{36} = 6$ см. Тогда высота $h = \frac{48}{a} = \frac{48}{6} = 8$ см.

Оба решения удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: сторона основания — 6 см и высота призмы — 8 см, или сторона основания — 8 см и высота призмы — 6 см.