Номер 19.28, страница 209 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.28. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $4\sqrt{2}$ см, а высота призмы — 6 см. Через диагональ основания проведено сечение призмы, параллельное диагонали призмы. Найдите площадь сечения.

Пусть дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основанием является квадрат $ABCD$ со стороной $a = 4\sqrt{2}$ см. Высота призмы $H = AA_1 = 6$ см.

Сечение проходит через диагональ основания, например $BD$, и параллельно диагонали призмы, например $AC_1$ (которая скрещивается с $BD$). Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$.

Построим сечение. Так как плоскость сечения параллельна $AC_1$, она должна содержать прямую, параллельную $AC_1$. Проведём через точку $O$ (середину $AC$) прямую $OK$ параллельно $AC_1$, где точка $K$ лежит на ребре $CC_1$. В треугольнике $ACC_1$ отрезок $OK$ является средней линией, поскольку он соединяет середину стороны $AC$ со стороной $CC_1$ и параллелен третьей стороне $AC_1$. Следовательно, точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Таким образом, искомое сечение представляет собой треугольник $BKD$.

Найдём площадь треугольника $BKD$. Его основание — это диагональ квадрата $BD$. Длина диагонали квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.

$BD = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8$ см.

Треугольник $BKD$ является равнобедренным, так как его боковые стороны $BK$ и $DK$ равны (это следует из равенства прямоугольных треугольников $BCK$ и $DCK$ по двум катетам: $BC=DC$ и $CK$ — общий). Следовательно, его высота, опущенная на основание $BD$, совпадает с медианой $KO$.

Длину высоты $KO$ найдём из прямоугольного треугольника $OCK$. Угол $\angle OCK = 90^\circ$, так как ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит и прямой $OC$, лежащей в этой плоскости. Катет $OC$ равен половине диагонали основания: $OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см. Катет $CK$ равен половине высоты призмы: $CK = \frac{1}{2}CC_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. По теореме Пифагора:

$KO = \sqrt{OC^2 + CK^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь сечения (треугольника $BKD$) равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot KO = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$ см$^2$.

Ответ: $20$ см$^2$.