Номер 19.25, страница 209 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.25. Площадь основания правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $S$. Площадь треугольника $ABC_1$ равна $S_1$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть $ABCA_1B_1C_1$ — заданная правильная призма. Это означает, что ее основаниями $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонние треугольники, а боковые грани ($ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $ACC_1A_1$) — прямоугольники.

Обозначим длину стороны основания $a$ (т.е. $AB = BC = AC = a$), а высоту призмы — $h$ (т.е. $AA_1 = BB_1 = CC_1 = h$).

Площадь основания призмы $S$ — это площадь равностороннего треугольника $ABC$. Формула для площади равностороннего треугольника со стороной $a$ имеет вид:
$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь боковой поверхности призмы, которую нам нужно найти, состоит из суммы площадей трех одинаковых прямоугольных граней. Площадь одной такой грани равна $a \cdot h$. Следовательно, площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна:
$S_{бок} = 3ah$.

Рассмотрим треугольник $ABC_1$. Его основание $AB$ равно $a$. Так как призма правильная (а значит, прямая), ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, треугольники $ACC_1$ и $BCC_1$ являются прямоугольными. По теореме Пифагора найдем длины сторон $AC_1$ и $BC_1$:
$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = a^2 + h^2 \implies AC_1 = \sqrt{a^2 + h^2}$.
$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = a^2 + h^2 \implies BC_1 = \sqrt{a^2 + h^2}$.
Видим, что $AC_1 = BC_1$, поэтому треугольник $ABC_1$ — равнобедренный с основанием $AB$.

Площадь этого треугольника по условию равна $S_1$. Найдем выражение для этой площади. Проведем в треугольнике $ABC_1$ высоту $C_1M$ к основанию $AB$. Так как треугольник равнобедренный, $M$ является серединой $AB$, и $AM = \frac{a}{2}$. Высоту $C_1M$ найдем из прямоугольного треугольника $AC_1M$ по теореме Пифагора:
$C_1M^2 = AC_1^2 - AM^2 = (a^2 + h^2) - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 + h^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} + h^2$.
$C_1M = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + h^2}$.

Площадь треугольника $ABC_1$ равна:
$S_1 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} a \sqrt{\frac{3a^2}{4} + h^2}$.

Чтобы связать это выражение с известными величинами, возведем его в квадрат:
$S_1^2 = \left(\frac{1}{2} a\right)^2 \left(\frac{3a^2}{4} + h^2\right) = \frac{a^2}{4}\left(\frac{3a^2}{4} + h^2\right) = \frac{3a^4}{16} + \frac{a^2h^2}{4}$.

Теперь воспользуемся формулой для площади основания $S$. Если мы возведем ее в квадрат, получим:
$S^2 = \left(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{a^4 \cdot 3}{16}$.

Мы видим, что первое слагаемое в выражении для $S_1^2$ в точности равно $S^2$. Подставим это значение:
$S_1^2 = S^2 + \frac{a^2h^2}{4}$.

Теперь из этого соотношения можно выразить произведение $ah$, необходимое для вычисления площади боковой поверхности:
$\frac{a^2h^2}{4} = S_1^2 - S^2$
$a^2h^2 = 4(S_1^2 - S^2)$
$ah = \sqrt{4(S_1^2 - S^2)} = 2\sqrt{S_1^2 - S^2}$.

Наконец, подставляем найденное выражение для $ah$ в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 3ah = 3 \cdot (2\sqrt{S_1^2 - S^2}) = 6\sqrt{S_1^2 - S^2}$.

Ответ: $6\sqrt{S_1^2 - S^2}$.