Номер 19.30, страница 209 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.30. Высота правильной треугольной призмы равна $h$. Угол между диагоналями двух боковых граней, имеющими общий конец, равен $\alpha$. Найдите площадь сечения, проходящего через данные диагонали.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABC-A_1B_1C_1$. Основания призмы, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, являются правильными треугольниками. Боковые грани являются прямоугольниками.

Обозначим сторону основания за $a$, то есть $AB = BC = CA = a$. Высота призмы по условию равна $h$, то есть $AA_1 = BB_1 = CC_1 = h$.

Рассмотрим две диагонали боковых граней, имеющие общий конец, например, в вершине $A_1$. Это диагонали $A_1B$ и $A_1C$ смежных боковых граней $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$. Угол между этими диагоналями по условию равен $\alpha$, то есть $\angle BA_1C = \alpha$.

Сечение, проходящее через данные диагонали, представляет собой треугольник $A_1BC$. Наша задача — найти его площадь $S$.

Поскольку призма правильная, боковые грани $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$ — равные прямоугольники. Следовательно, их диагонали $A_1B$ и $A_1C$ равны. Таким образом, треугольник $A_1BC$ является равнобедренным.

Найдем длину диагонали боковой грани. Из прямоугольного треугольника $\triangle A_1AB$ по теореме Пифагора имеем:

$A_1B^2 = A_1A^2 + AB^2 = h^2 + a^2$

Следовательно, $A_1B = A_1C = \sqrt{h^2 + a^2}$.

Площадь треугольника $A_1BC$ можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} A_1B \cdot A_1C \cdot \sin(\angle BA_1C)$

Подставляя найденные длины сторон, получаем:

$S = \frac{1}{2} \sqrt{h^2 + a^2} \cdot \sqrt{h^2 + a^2} \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} (h^2 + a^2) \sin(\alpha)$

В этой формуле присутствует неизвестная величина $a$ (сторона основания). Чтобы найти площадь, необходимо выразить $a^2$ через известные $h$ и $\alpha$. Для этого применим теорему косинусов к треугольнику $A_1BC$:

$BC^2 = A_1B^2 + A_1C^2 - 2 \cdot A_1B \cdot A_1C \cdot \cos(\angle BA_1C)$

Подставим известные нам выражения для сторон:

$a^2 = (h^2 + a^2) + (h^2 + a^2) - 2 (\sqrt{h^2 + a^2})^2 \cos(\alpha)$

$a^2 = 2(h^2 + a^2) - 2(h^2 + a^2)\cos(\alpha)$

$a^2 = 2(h^2 + a^2)(1 - \cos(\alpha))$

Теперь решим это уравнение относительно $a^2$:

$a^2 = 2h^2(1 - \cos(\alpha)) + 2a^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2 - 2a^2(1 - \cos(\alpha)) = 2h^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2(1 - 2 + 2\cos(\alpha)) = 2h^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2(2\cos(\alpha) - 1) = 2h^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2 = \frac{2h^2(1 - \cos(\alpha))}{2\cos(\alpha) - 1}$

Теперь найдем выражение для $h^2 + a^2$, которое входит в формулу площади:

$h^2 + a^2 = h^2 + \frac{2h^2(1 - \cos(\alpha))}{2\cos(\alpha) - 1} = h^2 \left( 1 + \frac{2(1 - \cos(\alpha))}{2\cos(\alpha) - 1} \right)$

$h^2 + a^2 = h^2 \left( \frac{2\cos(\alpha) - 1 + 2 - 2\cos(\alpha)}{2\cos(\alpha) - 1} \right) = h^2 \left( \frac{1}{2\cos(\alpha) - 1} \right) = \frac{h^2}{2\cos(\alpha) - 1}$

Наконец, подставим это выражение в формулу для площади сечения $S$:

$S = \frac{1}{2} (h^2 + a^2) \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{h^2}{2\cos(\alpha) - 1} \right) \cdot \sin(\alpha)$

$S = \frac{h^2 \sin(\alpha)}{2(2\cos(\alpha) - 1)}$

Ответ: $S = \frac{h^2 \sin(\alpha)}{2(2\cos(\alpha) - 1)}$