Страница 206 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Что называют многогранником?

2. Какие грани многогранника называют соседними?

3. Что называют двугранным углом многогранника?

4. Какой многогранник называют выпуклым?

5. Что называют призмой?

6. Что называют высотой призмы?

7. Какую призму называют прямой; наклонной?

8. Какую призму называют правильной?

9. Что называют диагональным сечением призмы?

10. Что называют площадью боковой поверхности призмы?

11. Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы?

1. Что называют многогранником?

Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называемых гранями. Ответ:

2. Какие грани многогранника называют соседними?

Соседними называют две грани многогранника, которые имеют общее ребро. Ответ:

3. Что называют двугранным углом многогранника?

Двугранным углом многогранника называют угол, образованный двумя соседними гранями, исходящими из одного общего ребра. Ответ:

4. Какой многогранник называют выпуклым?

Выпуклым называют многогранник, который расположен полностью по одну сторону от плоскости любой из его граней. Это также означает, что отрезок, соединяющий любые две точки многогранника, полностью ему принадлежит. Ответ:

5. Что называют призмой?

Призмой называют многогранник, состоящий из двух равных многоугольников (оснований), лежащих в параллельных плоскостях, и боковых граней, которые являются параллелограммами и соединяют соответствующие стороны оснований. Ответ:

6. Что называют высотой призмы?

Высотой призмы называют перпендикуляр, проведенный из любой точки плоскости одного основания к плоскости другого основания. Длина этого перпендикуляра также называется высотой. Ответ:

7. Какую призму называют прямой; наклонной?

Призму называют прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Боковые грани такой призмы — прямоугольники. Призму называют наклонной, если ее боковые ребра не перпендикулярны основаниям. Ответ:

8. Какую призму называют правильной?

Правильной называют прямую призму, в основании которой лежит правильный многоугольник (многоугольник с равными сторонами и равными углами). Ответ:

9. Что называют диагональным сечением призмы?

Диагональным сечением призмы называют сечение, проходящее через два боковых ребра, не принадлежащих одной и той же грани. Такое сечение всегда имеет форму параллелограмма. Ответ:

10. Что называют площадью боковой поверхности призмы?

Площадью боковой поверхности призмы называют сумму площадей всех ее боковых граней (то есть всех граней, кроме оснований). Ответ:

11. Чему равна площадь боковой поверхности прямой призмы?

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту призмы. Если $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы, то площадь боковой поверхности $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$. Ответ:

19.1. Призма имеет 12 граней. Какой многоугольник лежит в её основании?

Общее количество граней любой призмы складывается из двух оснований (верхнего и нижнего) и боковых граней. Количество боковых граней равно количеству сторон многоугольника, лежащего в основании.

Пусть в основании данной призмы лежит $n$-угольник. Тогда количество боковых граней равно $n$. Общее число граней $Г$ будет равно:
$Г = n$ (боковые грани) $+ 2$ (основания)

По условию задачи, призма имеет 12 граней, то есть $Г=12$. Составим и решим уравнение:
$n + 2 = 12$
$n = 12 - 2$
$n = 10$

Следовательно, в основании призмы лежит многоугольник с 10-ю сторонами.

Ответ: десятиугольник.

19.2. Докажите утверждение: если две соседние грани призмы перпендикулярны плоскости её основания, то данная призма является прямой. Будет ли данное утверждение верно, если из его формулировки исключить слово «соседние»?

Доказательство утверждения: если две соседние грани призмы перпендикулярны плоскости её основания, то данная призма является прямой.

Пусть дана призма. Обозначим плоскость её основания как $\alpha$. Пусть две соседние боковые грани лежат в плоскостях $\beta_1$ и $\beta_2$. По условию задачи, эти плоскости перпендикулярны плоскости основания:

$\beta_1 \perp \alpha$

$\beta_2 \perp \alpha$

Поскольку грани являются соседними, они имеют общее боковое ребро. Это ребро является линией пересечения плоскостей $\beta_1$ и $\beta_2$. Обозначим это ребро как $l$. Таким образом, $l = \beta_1 \cap \beta_2$.

Воспользуемся теоремой стереометрии: если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости.

В нашем случае плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$ пересекаются по прямой $l$ и обе перпендикулярны плоскости $\alpha$. Следовательно, их линия пересечения $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, то есть $l \perp \alpha$.

По определению призмы, все её боковые рёбра параллельны друг другу. Так как одно боковое ребро ($l$) перпендикулярно плоскости основания, то и все остальные боковые рёбра, будучи параллельными ему, также перпендикулярны плоскости основания.

Призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, называется прямой призмой. Таким образом, данная призма является прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Будет ли данное утверждение верно, если из его формулировки исключить слово «соседние»?

Рассмотрим утверждение: «если две грани призмы перпендикулярны плоскости её основания, то данная призма является прямой». Это утверждение не является верным в общем случае.

Чтобы доказать его ложность, достаточно привести контрпример. Рассмотрим наклонную призму, в основании которой лежит параллелограмм (например, прямоугольник) $ABCD$. Пусть плоскость основания будет $\alpha$.

Пусть боковые рёбра этой призмы наклонены к плоскости основания таким образом, что их ортогональная проекция на плоскость $\alpha$ перпендикулярна сторонам основания $AB$ и $CD$. Обозначим боковое ребро как $l$, а его проекцию на плоскость $\alpha$ как $l'$. Тогда, по нашему построению, $l' \perp AB$ и $l' \perp CD$.

Существует свойство: боковая грань призмы перпендикулярна плоскости основания тогда и только тогда, когда сторона основания, на которой построена эта грань, перпендикулярна проекции бокового ребра на плоскость основания.

Для грани, построенной на стороне $AB$, это условие выполняется: $AB \perp l'$. Значит, эта боковая грань перпендикулярна плоскости основания $\alpha$.

Для грани, построенной на стороне $CD$, это условие также выполняется: $CD \perp l'$ (поскольку $CD \parallel AB$). Значит, и эта боковая грань перпендикулярна плоскости основания $\alpha$.

Таким образом, мы построили наклонную призму (так как её боковое ребро $l$ не перпендикулярно основанию, ведь его проекция $l'$ — ненулевой отрезок), у которой две не соседние (противоположные) грани перпендикулярны плоскости основания. Этот пример опровергает утверждение.

Проблема возникает, когда две боковые грани, перпендикулярные основанию, построены на параллельных сторонах основания. Если бы они были построены на непараллельных сторонах, то из условия перпендикулярности проекции бокового ребра к двум непараллельным прямым следовало бы, что длина проекции равна нулю, и призма была бы прямой.

Ответ: Нет, данное утверждение не будет верно, если из его формулировки исключить слово «соседние».

19.3. Докажите, что в любой призме количество вершин является чётным числом, а количество рёбер — числом, кратным 3.

Доказательство состоит из двух частей, в соответствии с утверждениями в задаче.

Доказательство того, что количество вершин является чётным числом

Рассмотрим произвольную призму. Основанием любой призмы является многоугольник. Пусть в основании призмы лежит $n$-угольник, где $n$ — это количество вершин (и сторон) многоугольника. По определению многоугольника, $n$ является натуральным числом, $n \ge 3$.
Призма имеет два одинаковых основания: верхнее и нижнее. Каждое основание является $n$-угольником и, следовательно, имеет $n$ вершин.
Все вершины призмы — это вершины её оснований. Таким образом, общее количество вершин призмы $V$ равно сумме количества вершин в верхнем и нижнем основаниях.
$V = n (\text{вершин нижнего основания}) + n (\text{вершин верхнего основания}) = 2n$.
Поскольку $n$ — целое число, то число $V = 2n$ по определению является чётным числом.
Таким образом, в любой призме количество вершин является чётным числом.
Ответ: Количество вершин в $n$-угольной призме равно $2n$, что является чётным числом для любого целого $n \ge 3$.

Доказательство того, что количество рёбер является числом, кратным 3

Рассмотрим ту же $n$-угольную призму. Рёбра призмы можно разделить на три группы: рёбра нижнего основания, рёбра верхнего основания и боковые рёбра, соединяющие основания.
Нижнее основание, как $n$-угольник, имеет $n$ рёбер.
Верхнее основание, также являясь $n$-угольником, имеет $n$ рёбер.
Боковые рёбра соединяют соответствующие вершины верхнего и нижнего оснований. Поскольку в каждом основании по $n$ вершин, то количество боковых рёбер также равно $n$.
Общее количество рёбер призмы $E$ равно сумме рёбер в основаниях и боковых рёбер.
$E = n (\text{рёбер нижнего основания}) + n (\text{рёбер верхнего основания}) + n (\text{боковых рёбер}) = 3n$.
Поскольку $n$ — целое число, то число $E = 3n$ по определению делится на 3 без остатка, то есть является кратным 3.
Таким образом, в любой призме количество рёбер является числом, кратным 3.
Ответ: Количество рёбер в $n$-угольной призме равно $3n$, что является числом, кратным 3, для любого целого $n \ge 3$.

19.4. Точки $D$ и $E$ — середины рёбер $AC$ и $BC$ правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 19.23). Плоскость, проходящая через прямую $DE$ и образующая с плоскостью $ABC$ угол $30^\circ$, пересекает ребро $CC_1$ в точке $F$. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если сторона её основания равна $12$ см.

Рис. 19.23

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной, ее основание $ABC$ — равносторонний треугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. По условию, сторона основания равна 12 см.

Точки $D$ и $E$ — середины рёбер $AC$ и $BC$ соответственно. Следовательно, отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $DE$ параллельна стороне $AB$, и её длина равна половине длины $AB$:
$DE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Секущая плоскость проходит через прямую $DE$ и пересекает ребро $CC_1$ в точке $F$. Таким образом, искомым сечением является треугольник $DEF$.

Для нахождения площади сечения $DEF$ воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции многоугольника. Ортогональной проекцией сечения, треугольника $DEF$, на плоскость основания $ABC$ является треугольник $DEC$.

Площадь проекции $S_{\text{пр}}$ связана с площадью сечения $S_{\text{сеч}}$ формулой:$S_{\text{пр}} = S_{\text{сеч}} \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.В нашем случае $S_{DEC} = S_{DEF} \cdot \cos(30°)$. Отсюда следует, что площадь сечения равна $S_{DEF} = \frac{S_{DEC}}{\cos(30°)}$.

Сначала найдем площадь треугольника $DEC$. Так как $D$ и $E$ — середины сторон $AC$ и $BC$, то $CD = \frac{1}{2}AC = 6$ см и $CE = \frac{1}{2}BC = 6$ см. Угол $\angle C$ в равностороннем треугольнике $ABC$ равен $60°$.Площадь треугольника $DEC$ вычисляется по формуле:$S_{DEC} = \frac{1}{2} CD \cdot CE \cdot \sin(\angle C) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(60°) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см².

Теперь найдем площадь искомого сечения $DEF$. Угол $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью основания по условию равен $30°$.$S_{DEF} = \frac{S_{DEC}}{\cos(30°)} = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 9\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 18$ см².

Ответ: $18 \text{ см}^2$.