Номер 19.4, страница 206 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.4. Точки $D$ и $E$ — середины рёбер $AC$ и $BC$ правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 19.23). Плоскость, проходящая через прямую $DE$ и образующая с плоскостью $ABC$ угол $30^\circ$, пересекает ребро $CC_1$ в точке $F$. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если сторона её основания равна $12$ см.

Рис. 19.23

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной, ее основание $ABC$ — равносторонний треугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. По условию, сторона основания равна 12 см.

Точки $D$ и $E$ — середины рёбер $AC$ и $BC$ соответственно. Следовательно, отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $DE$ параллельна стороне $AB$, и её длина равна половине длины $AB$:
$DE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Секущая плоскость проходит через прямую $DE$ и пересекает ребро $CC_1$ в точке $F$. Таким образом, искомым сечением является треугольник $DEF$.

Для нахождения площади сечения $DEF$ воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции многоугольника. Ортогональной проекцией сечения, треугольника $DEF$, на плоскость основания $ABC$ является треугольник $DEC$.

Площадь проекции $S_{\text{пр}}$ связана с площадью сечения $S_{\text{сеч}}$ формулой:$S_{\text{пр}} = S_{\text{сеч}} \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.В нашем случае $S_{DEC} = S_{DEF} \cdot \cos(30°)$. Отсюда следует, что площадь сечения равна $S_{DEF} = \frac{S_{DEC}}{\cos(30°)}$.

Сначала найдем площадь треугольника $DEC$. Так как $D$ и $E$ — середины сторон $AC$ и $BC$, то $CD = \frac{1}{2}AC = 6$ см и $CE = \frac{1}{2}BC = 6$ см. Угол $\angle C$ в равностороннем треугольнике $ABC$ равен $60°$.Площадь треугольника $DEC$ вычисляется по формуле:$S_{DEC} = \frac{1}{2} CD \cdot CE \cdot \sin(\angle C) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(60°) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см².

Теперь найдем площадь искомого сечения $DEF$. Угол $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью основания по условию равен $30°$.$S_{DEF} = \frac{S_{DEC}}{\cos(30°)} = \frac{9\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 9\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 18$ см².

Ответ: $18 \text{ см}^2$.