Номер 19.2, страница 206 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.2. Докажите утверждение: если две соседние грани призмы перпендикулярны плоскости её основания, то данная призма является прямой. Будет ли данное утверждение верно, если из его формулировки исключить слово «соседние»?

Доказательство утверждения: если две соседние грани призмы перпендикулярны плоскости её основания, то данная призма является прямой.

Пусть дана призма. Обозначим плоскость её основания как $\alpha$. Пусть две соседние боковые грани лежат в плоскостях $\beta_1$ и $\beta_2$. По условию задачи, эти плоскости перпендикулярны плоскости основания:

$\beta_1 \perp \alpha$

$\beta_2 \perp \alpha$

Поскольку грани являются соседними, они имеют общее боковое ребро. Это ребро является линией пересечения плоскостей $\beta_1$ и $\beta_2$. Обозначим это ребро как $l$. Таким образом, $l = \beta_1 \cap \beta_2$.

Воспользуемся теоремой стереометрии: если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости.

В нашем случае плоскости $\beta_1$ и $\beta_2$ пересекаются по прямой $l$ и обе перпендикулярны плоскости $\alpha$. Следовательно, их линия пересечения $l$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, то есть $l \perp \alpha$.

По определению призмы, все её боковые рёбра параллельны друг другу. Так как одно боковое ребро ($l$) перпендикулярно плоскости основания, то и все остальные боковые рёбра, будучи параллельными ему, также перпендикулярны плоскости основания.

Призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, называется прямой призмой. Таким образом, данная призма является прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Будет ли данное утверждение верно, если из его формулировки исключить слово «соседние»?

Рассмотрим утверждение: «если две грани призмы перпендикулярны плоскости её основания, то данная призма является прямой». Это утверждение не является верным в общем случае.

Чтобы доказать его ложность, достаточно привести контрпример. Рассмотрим наклонную призму, в основании которой лежит параллелограмм (например, прямоугольник) $ABCD$. Пусть плоскость основания будет $\alpha$.

Пусть боковые рёбра этой призмы наклонены к плоскости основания таким образом, что их ортогональная проекция на плоскость $\alpha$ перпендикулярна сторонам основания $AB$ и $CD$. Обозначим боковое ребро как $l$, а его проекцию на плоскость $\alpha$ как $l'$. Тогда, по нашему построению, $l' \perp AB$ и $l' \perp CD$.

Существует свойство: боковая грань призмы перпендикулярна плоскости основания тогда и только тогда, когда сторона основания, на которой построена эта грань, перпендикулярна проекции бокового ребра на плоскость основания.

Для грани, построенной на стороне $AB$, это условие выполняется: $AB \perp l'$. Значит, эта боковая грань перпендикулярна плоскости основания $\alpha$.

Для грани, построенной на стороне $CD$, это условие также выполняется: $CD \perp l'$ (поскольку $CD \parallel AB$). Значит, и эта боковая грань перпендикулярна плоскости основания $\alpha$.

Таким образом, мы построили наклонную призму (так как её боковое ребро $l$ не перпендикулярно основанию, ведь его проекция $l'$ — ненулевой отрезок), у которой две не соседние (противоположные) грани перпендикулярны плоскости основания. Этот пример опровергает утверждение.

Проблема возникает, когда две боковые грани, перпендикулярные основанию, построены на параллельных сторонах основания. Если бы они были построены на непараллельных сторонах, то из условия перпендикулярности проекции бокового ребра к двум непараллельным прямым следовало бы, что длина проекции равна нулю, и призма была бы прямой.

Ответ: Нет, данное утверждение не будет верно, если из его формулировки исключить слово «соседние».