Номер 19.5, страница 207 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.5. Через диагональ $AC$ основания правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проведена плоскость, образующая с плоскостью $ABC$ угол $45^{\circ}$ и пересекающая ребро $BB_1$ в точке $M$ (рис. 19.24). Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если сторона её основания равна 8 см.

Рис. 19.24

Поскольку призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ правильная, в ее основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной 8 см, а боковые ребра перпендикулярны основанию. Сечением является треугольник $AMC$. Для нахождения его площади $S_{AMC}$ воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

1. Нахождение длины основания сечения AC
Основание сечения $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ см.

2. Определение линейного угла и нахождение высоты сечения MO
Угол между плоскостью сечения $(AMC)$ и плоскостью основания $(ABC)$ по условию равен $45^\circ$. Этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями по линии их пересечения $AC$.
Для построения линейного угла из одной точки на ребре $AC$ проведем перпендикуляры в каждой плоскости. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$. Тогда $O$ — середина $AC$.
В плоскости основания $(ABC)$ имеем $BO \perp AC$, так как диагонали квадрата перпендикулярны.
Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$. Они прямоугольные ($\angle B=90^\circ$), $MB$ — общий катет, $AB=BC$. Значит, $\triangle ABM = \triangle CBM$, откуда $AM = CM$. Следовательно, $\triangle AMC$ — равнобедренный. В нем медиана $MO$ является и высотой, то есть $MO \perp AC$.
Таким образом, линейный угол двугранного угла — это $\angle MOB = 45^\circ$.
Рассмотрим $\triangle MBO$. Он прямоугольный, так как $MB \perp BO$ (поскольку ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию).
Катет $BO$ равен половине диагонали $BD$. Так как $BD=AC=8\sqrt{2}$ см, то $BO = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Высота сечения $MO$ является гипотенузой в $\triangle MBO$. Найдем ее из соотношения в прямоугольном треугольнике:
$\cos(\angle MOB) = \frac{BO}{MO} \implies MO = \frac{BO}{\cos(45^\circ)} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 8$ см.

3. Вычисление площади сечения AMC
Теперь, зная основание $AC$ и высоту $MO$, вычислим площадь треугольника $AMC$:
$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MO = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} \cdot 8 = 32\sqrt{2}$ см².

Ответ: $32\sqrt{2}$ см².