Номер 19.10, страница 207 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.10. Основание прямой призмы — ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Большая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите диагонали призмы.

Для решения задачи сначала найдем диагонали основания призмы, которым является ромб со стороной $a$ и острым углом $\alpha$. Пусть $d_1$ — большая диагональ ромба, а $d_2$ — меньшая.

Меньшая диагональ $d_2$ лежит против острого угла $\alpha$. По теореме косинусов для треугольника, образованного двумя сторонами ромба и меньшей диагональю:

$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos\alpha = 2a^2(1 - \cos\alpha)$

Используя тригонометрическую формулу понижения степени $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$, получаем:

$d_2^2 = 4a^2\sin^2\frac{\alpha}{2} \implies d_2 = 2a\sin\frac{\alpha}{2}$

Большая диагональ $d_1$ лежит против тупого угла ромба, равного $180^\circ - \alpha$. Аналогично по теореме косинусов:

$d_1^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(180^\circ - \alpha) = 2a^2(1 + \cos\alpha)$

Используя формулу $1 + \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}$, получаем:

$d_1^2 = 4a^2\cos^2\frac{\alpha}{2} \implies d_1 = 2a\cos\frac{\alpha}{2}$

Призма прямая, поэтому ее высота $h$ равна длине бокового ребра. Большая диагональ призмы $D_1$ образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией диагонали $D_1$ на основание является большая диагональ ромба $d_1$. Диагональ $D_1$, ее проекция $d_1$ и высота призмы $h$ образуют прямоугольный треугольник.

Из этого треугольника можем найти высоту призмы $h$:

$\tan\beta = \frac{h}{d_1} \implies h = d_1 \tan\beta = 2a\cos\frac{\alpha}{2}\tan\beta$

Теперь мы можем найти обе диагонали призмы.

Большая диагональ призмы

В том же прямоугольном треугольнике, образованном $D_1$, $d_1$ и $h$, большая диагональ призмы $D_1$ является гипотенузой. Тогда:

$\cos\beta = \frac{d_1}{D_1} \implies D_1 = \frac{d_1}{\cos\beta}$

Подставляя найденное значение $d_1$, получаем:

$D_1 = \frac{2a\cos\frac{\alpha}{2}}{\cos\beta}$

Ответ: $\frac{2a\cos(\frac{\alpha}{2})}{\cos\beta}$.

Меньшая диагональ призмы

Меньшая диагональ призмы $D_2$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются меньшая диагональ основания $d_2$ и высота призмы $h$. По теореме Пифагора:

$D_2^2 = d_2^2 + h^2$

Подставляем выражения для $d_2$ и $h$:

$D_2^2 = \left(2a\sin\frac{\alpha}{2}\right)^2 + \left(2a\cos\frac{\alpha}{2}\tan\beta\right)^2$

$D_2^2 = 4a^2\sin^2\frac{\alpha}{2} + 4a^2\cos^2\frac{\alpha}{2}\tan^2\beta$

$D_2^2 = 4a^2\left(\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}\tan^2\beta\right)$

Извлекая квадратный корень, находим $D_2$:

$D_2 = 2a\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos^2\frac{\alpha}{2}\tan^2\beta}$

Ответ: $2a\sqrt{\sin^2(\frac{\alpha}{2}) + \cos^2(\frac{\alpha}{2})\tan^2\beta}$.