Номер 19.14, страница 207 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

19.14. Каждое ребро правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равно $a$. Найдите:

1) площадь сечения призмы, проходящего через точки $A$, $B$ и $C_1$;

2) угол между плоскостью данного сечения и плоскостью основания призмы.

1) По условию, призма $ABCA_1B_1C_1$ – правильная, значит, в ее основании лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Каждое ребро призмы равно $a$. Это означает, что стороны основания $AB = BC = CA = a$ и высота призмы (длина боковых ребер) $AA_1 = BB_1 = CC_1 = a$.

Сечение, проходящее через точки $A$, $B$ и $C_1$, представляет собой треугольник $ABC_1$. Найдем его площадь. Для этого сначала определим длины его сторон.

Сторона $AB$ является стороной основания, поэтому ее длина $AB = a$.

Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $AA_1C_1C$. Так как призма правильная, эта грань – квадрат со стороной $a$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$:
$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Аналогично, сторона $BC_1$ является диагональю боковой грани $BB_1C_1C$, которая также является квадратом со стороной $a$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$:
$BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $ABC_1$ является равнобедренным с основанием $AB = a$ и боковыми сторонами $AC_1 = BC_1 = a\sqrt{2}$.

Для нахождения площади этого треугольника проведем высоту $C_1M$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой, поэтому точка $M$ – середина отрезка $AB$, и $AM = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC_1$. По теореме Пифагора найдем высоту $C_1M$:
$C_1M = \sqrt{AC_1^2 - AM^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{2a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{8a^2 - a^2}{4}} = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$.

Теперь можем вычислить площадь треугольника $ABC_1$ (площадь сечения):
$S_{ABC_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot C_1M = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{7}}{2} = \frac{a^2\sqrt{7}}{4}$.

Ответ: $\frac{a^2\sqrt{7}}{4}$

2) Угол между плоскостью сечения $(ABC_1)$ и плоскостью основания $(ABC)$ – это двугранный угол между этими плоскостями. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AB$.

Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Для этого в точке $M$ на ребре $AB$ (середине $AB$) проведем два перпендикуляра к $AB$, лежащие в указанных плоскостях.

В плоскости основания $(ABC)$ проведем медиану $CM$ в равностороннем треугольнике $ABC$. Медиана в равностороннем треугольнике является также и высотой, следовательно, $CM \perp AB$. Длина $CM$ как высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В плоскости сечения $(ABC_1)$ мы уже провели высоту $C_1M$ к стороне $AB$, так что $C_1M \perp AB$.

Следовательно, линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC_1)$ и $(ABC)$ является угол $\angle CMC_1$. Обозначим его как $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $CMC_1$. Поскольку призма правильная, боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$. Значит, $CC_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $CM$. Таким образом, треугольник $CMC_1$ – прямоугольный с прямым углом $\angle C_1CM = 90^\circ$.

В этом прямоугольном треугольнике нам известны длины катетов: $CC_1 = a$ (длина бокового ребра) и $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (высота основания).

Найдем тангенс угла $\alpha = \angle CMC_1$:
$\tan(\alpha) = \frac{CC_1}{CM} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, искомый угол $\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$.

Другой способ выразить ответ — через косинус. Гипотенуза $C_1M$ была найдена в пункте 1): $C_1M = \frac{a\sqrt{7}}{2}$.
$\cos(\alpha) = \frac{CM}{C_1M} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{7}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.
Тогда угол $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right)$.

Ответ: $\arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$