Номер 18.18, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.18. Стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а диагонали — $m$ и $n$. Докажите, что $a^4 + b^4 = m^2n^2$ тогда и только тогда, когда острый угол параллелограмма равен $45^\circ$.

Для доказательства утверждения "тогда и только тогда" необходимо доказать две части: прямое утверждение и обратное.

1. Докажем, что если острый угол параллелограмма равен 45°, то $a^4 + b^4 = m^2n^2$.

Пусть $\alpha$ — острый угол параллелограмма между сторонами $a$ и $b$. Тогда тупой угол равен $180^\circ - \alpha$.

Воспользуемся теоремой косинусов для двух треугольников, образованных сторонами $a$, $b$ и диагоналями $m$ и $n$. Пусть $n$ — диагональ, противолежащая острому углу $\alpha$, а $m$ — диагональ, противолежащая тупому углу.

Для диагонали $n$:

$n^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha$

Для диагонали $m$:

$m^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)$

Поскольку $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$, получаем:

$m^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos \alpha$

По условию, острый угол $\alpha = 45^\circ$. Значение его косинуса: $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это значение в выражения для квадратов диагоналей:

$n^2 = a^2 + b^2 - 2ab \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = a^2 + b^2 - ab\sqrt{2}$

$m^2 = a^2 + b^2 + 2ab \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = a^2 + b^2 + ab\sqrt{2}$

Теперь найдем произведение $m^2n^2$:

$m^2n^2 = (a^2 + b^2 + ab\sqrt{2})(a^2 + b^2 - ab\sqrt{2})$

Это выражение является разностью квадратов вида $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = a^2 + b^2$ и $y = ab\sqrt{2}$.

$m^2n^2 = (a^2 + b^2)^2 - (ab\sqrt{2})^2$

$m^2n^2 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - (a^2b^2 \cdot 2)$

$m^2n^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 2a^2b^2$

$m^2n^2 = a^4 + b^4$

Таким образом, первая часть доказана.

Ответ: Доказано, что если острый угол параллелограмма равен 45°, то $a^4 + b^4 = m^2n^2$.

2. Докажем, что если $a^4 + b^4 = m^2n^2$, то острый угол параллелограмма равен 45°.

Начнем с тех же выражений для квадратов диагоналей через произвольный острый угол $\alpha$:

$n^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha$

$m^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos \alpha$

Перемножим эти два выражения:

$m^2n^2 = (a^2 + b^2 + 2ab \cos \alpha)(a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha)$

Снова используем формулу разности квадратов:

$m^2n^2 = (a^2 + b^2)^2 - (2ab \cos \alpha)^2$

$m^2n^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2 \cos^2 \alpha$

Теперь воспользуемся условием $a^4 + b^4 = m^2n^2$ и подставим его в полученное равенство:

$a^4 + b^4 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2b^2 \cos^2 \alpha$

Сократим $a^4$ и $b^4$ в обеих частях уравнения:

$0 = 2a^2b^2 - 4a^2b^2 \cos^2 \alpha$

Перенесем член с косинусом в левую часть:

$4a^2b^2 \cos^2 \alpha = 2a^2b^2$

Поскольку $a$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, они не равны нулю ($a>0, b>0$). Следовательно, мы можем разделить обе части на $4a^2b^2$:

$\cos^2 \alpha = \frac{2a^2b^2}{4a^2b^2} = \frac{1}{2}$

Отсюда $\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Так как по условию речь идет об остром угле параллелограмма, его мера находится в интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. В этом диапазоне косинус всегда положителен. Поэтому мы выбираем положительное значение:

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Единственный острый угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $\alpha = 45^\circ$.

Таким образом, вторая часть доказана.

Ответ: Доказано, что если $a^4 + b^4 = m^2n^2$, то острый угол параллелограмма равен 45°.