Номер 18.13, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.13. Дан угол $ABC$. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что

$\angle XBA = \angle XBC$.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, удовлетворяющих заданному условию. В данном случае условие для точки $X$ — это равенство углов: $\angle XBA = \angle XBC$.

Проанализируем это условие. Оно означает, что луч $BX$ образует одинаковые углы с лучами $BA$ и $BC$.

Рассмотрим сначала точки $X$, лежащие внутри угла $\angle ABC$. Для таких точек, по определению биссектрисы угла, условие $\angle XBA = \angle XBC$ выполняется тогда и только тогда, когда точка $X$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$.

Теперь рассмотрим точки $X'$, лежащие вне угла $\angle ABC$. Пусть $l$ — луч, являющийся биссектрисой угла $\angle ABC$. Возьмем точку $X'$ на луче, который дополняет $l$ до прямой. Угол $\angle X'BA$ является смежным с углом, образованным лучами $BX$ и $BA$ (где $X$ лежит на $l$), а угол $\angle X'BC$ — смежным с углом, образованным лучами $BX$ и $BC$. Их величины связаны соотношениями:
$\angle X'BA = 180^\circ - \angle XBA$
$\angle X'BC = 180^\circ - \angle XBC$
Так как для точек на биссектрисе $\angle XBA = \angle XBC$, то для точек на ее продолжении также выполняется равенство $\angle X'BA = \angle X'BC$.

Таким образом, все точки прямой, содержащей биссектрису угла $\angle ABC$, удовлетворяют исходному условию.

Следует исключить из этого множества саму вершину угла — точку $B$. Если точка $X$ совпадает с $B$, то углы $\angle BBA$ и $\angle BBC$ не определены, так как их стороны совпадают, и говорить о равенстве некорректно.

Этот результат остается верным и для развернутого угла ($\angle ABC = 180^\circ$). В этом случае биссектрисой является прямая, перпендикулярная прямой $AC$ и проходящая через точку $B$. Условие $\angle XBA = \angle XBC$ вместе с тем, что эти углы смежные ($\angle XBA + \angle XBC = 180^\circ$), дает $\angle XBA = \angle XBC = 90^\circ$, что и определяет указанную перпендикулярную прямую.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это прямая, которая содержит биссектрису угла $ABC$, за исключением самой вершины $B$.