Номер 18.15, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.15. Найдите ГМТ, принадлежащих трёхгранному углу и равноудалённых от его граней.

Пусть дан трёхгранный угол с вершиной $S$ и гранями (плоскостями) $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Требуется найти геометрическое место точек (ГМТ), принадлежащих этому углу и равноудалённых от его граней.

Известно, что геометрическое место точек пространства, равноудалённых от двух пересекающихся плоскостей, представляет собой пару плоскостей, которые являются биссекторами (или биссектральными плоскостями) двугранных углов, образованных исходными плоскостями.

Рассмотрим две грани трёхгранного угла, например, $\alpha$ и $\beta$. Множество точек, равноудалённых от них, — это две биссекторные плоскости. Поскольку по условию искомые точки должны принадлежать (находиться внутри) трёхгранному углу, нас интересует та биссекторная плоскость, которая проходит внутри этого угла. Обозначим её $\Pi_{\alpha\beta}$.

Аналогично, множеством точек внутри трёхгранного угла, равноудалённых от граней $\beta$ и $\gamma$, является биссекторная плоскость $\Pi_{\beta\gamma}$ внутреннего двугранного угла. А для граней $\gamma$ и $\alpha$ — биссекторная плоскость $\Pi_{\gamma\alpha}$.

Искомое ГМТ является множеством точек, которые удовлетворяют всем трём условиям равноудалённости одновременно. Следовательно, эти точки должны принадлежать пересечению трёх указанных биссекторных плоскостей: $\Pi_{\alpha\beta} \cap \Pi_{\beta\gamma} \cap \Pi_{\gamma\alpha}$.

Докажем, что эти три плоскости пересекаются по одной прямой.

Вершина трёхгранного угла $S$ принадлежит всем трём граням $\alpha, \beta, \gamma$. Расстояние от точки $S$ до каждой из граней равно нулю, следовательно, точка $S$ равноудалена от всех граней. Это означает, что вершина $S$ принадлежит каждой из биссекторных плоскостей: $S \in \Pi_{\alpha\beta}$, $S \in \Pi_{\beta\gamma}$ и $S \in \Pi_{\gamma\alpha}$.

Рассмотрим пересечение первых двух плоскостей $\Pi_{\alpha\beta}$ и $\Pi_{\beta\gamma}$. Так как они не параллельны (они проходят через общую вершину $S$), их пересечением является некоторая прямая $l$, проходящая через точку $S$.

Пусть $M$ — любая точка на прямой $l = \Pi_{\alpha\beta} \cap \Pi_{\beta\gamma}$.

• Поскольку $M \in \Pi_{\alpha\beta}$, расстояние от $M$ до грани $\alpha$ равно расстоянию от $M$ до грани $\beta$: $d(M, \alpha) = d(M, \beta)$.
• Поскольку $M \in \Pi_{\beta\gamma}$, расстояние от $M$ до грани $\beta$ равно расстоянию от $M$ до грани $\gamma$: $d(M, \beta) = d(M, \gamma)$.

Из этих двух равенств следует, что $d(M, \alpha) = d(M, \gamma)$. Это означает, что любая точка $M$ на прямой $l$ также равноудалена от граней $\alpha$ и $\gamma$. Поскольку точка $M$ по построению находится внутри области, ограниченной гранями, она должна лежать на биссекторной плоскости $\Pi_{\gamma\alpha}$.

Таким образом, любая точка прямой $l$ принадлежит и плоскости $\Pi_{\gamma\alpha}$. Это означает, что все три биссекторные плоскости пересекаются по одной и той же прямой $l$.

Эта прямая $l$ проходит через вершину $S$. Прямая состоит из двух лучей, выходящих из точки $S$ в противоположных направлениях. Один из этих лучей полностью лежит внутри данного трёхгранного угла, а другой — внутри трёхгранного угла, вертикального к данному. Условию задачи (точки, принадлежащие трёхгранному углу) удовлетворяют только точки одного из этих лучей (включая вершину $S$).

Следовательно, искомое геометрическое место точек — это луч.

Ответ: Луч, выходящий из вершины трёхгранного угла и являющийся пересечением биссекторных плоскостей его внутренних двугранных углов.