Номер 18.16, страница 192 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

18.16. Найдите ГМТ, принадлежащих трёхгранному углу и равноудалённых от его рёбер.

Рассмотрим трёхгранный угол с вершиной в точке $O$ и рёбрами (лучами) $l_1$, $l_2$ и $l_3$. Необходимо найти геометрическое место точек (ГМТ), которые принадлежат этому углу и находятся на одинаковом расстоянии от его рёбер.

1. Сначала найдём ГМТ, равноудалённых от двух рёбер, например, $l_1$ и $l_2$. Множество точек в пространстве, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, представляет собой две плоскости, которые проходят через точку пересечения прямых и перпендикулярны плоскости, содержащей эти прямые. Эти плоскости делят пополам двугранные углы, образованные плоскостью, в которой лежат прямые. Поскольку нас интересуют точки, лежащие внутри трёхгранного угла, мы рассматриваем только одну из этих плоскостей — ту, которая проходит через биссектрису "внутреннего" угла, образованного рёбрами. Обозначим эту биссекторную плоскость как $\Pi_{12}$. Каждая точка, принадлежащая этой плоскости, равноудалена от рёбер $l_1$ и $l_2$.

2. Аналогично, ГМТ, равноудалённых от рёбер $l_2$ и $l_3$, — это биссекторная плоскость $\Pi_{23}$. А ГМТ, равноудалённых от рёбер $l_1$ и $l_3$, — это плоскость $\Pi_{13}$.

3. Точка, равноудалённая от всех трёх рёбер ($l_1$, $l_2$ и $l_3$), должна удовлетворять условиям равноудалённости от всех пар рёбер одновременно. Следовательно, такая точка должна принадлежать пересечению трёх плоскостей: $\Pi_{12}$, $\Pi_{23}$ и $\Pi_{13}$.

Все эти плоскости проходят через общую точку — вершину угла $O$. Пересечение двух непараллельных плоскостей (например, $\Pi_{12}$ и $\Pi_{23}$) является прямой, которая также проходит через точку $O$. Обозначим эту прямую как $L$. Каждая точка на прямой $L$ равноудалена от рёбер $l_1$ и $l_2$ (так как лежит в $\Pi_{12}$) и от рёбер $l_2$ и $l_3$ (так как лежит в $\Pi_{23}$). Следовательно, любая точка на прямой $L$ равноудалена от всех трёх рёбер $l_1$, $l_2$ и $l_3$. Это означает, что прямая $L$ также целиком лежит и в третьей плоскости $\Pi_{13}$.

Таким образом, ГМТ, равноудалённых от трёх рёбер, есть прямая $L$, проходящая через вершину угла $O$.

4. В условии задачи сказано, что искомые точки должны "принадлежать трёхгранному углу". Прямая $L$ состоит из двух лучей, исходящих из вершины $O$. Только один из этих лучей лежит внутри трёхгранного угла.

Охарактеризуем этот луч. Пусть $M$ — произвольная точка на искомом луче, отличная от $O$. Расстояние от точки $M$ до ребра $l_i$ равно $d_i = OM \cdot \sin(\alpha_i)$, где $\alpha_i$ — угол между лучом $OM$ и ребром $l_i$. По определению, для точек искомого ГМТ должно выполняться равенство $d_1 = d_2 = d_3$.

$OM \cdot \sin(\alpha_1) = OM \cdot \sin(\alpha_2) = OM \cdot \sin(\alpha_3)$

Отсюда следует, что $\sin(\alpha_1) = \sin(\alpha_2) = \sin(\alpha_3)$. Поскольку луч $OM$ лежит внутри трёхгранного угла, все углы $\alpha_i$ являются острыми (от $0$ до $\pi/2$). В этом диапазоне из равенства синусов следует равенство самих углов: $\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3$.

Следовательно, искомое ГМТ — это луч, исходящий из вершины трёхгранного угла, расположенный внутри него и образующий равные углы с его рёбрами.

Ответ: Луч, исходящий из вершины трёхгранного угла, расположенный внутри него и образующий равные углы со всеми его тремя рёбрами.