Номер 20.21, страница 218 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.21. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, а площади диагональных сечений равны $S_1$ и $S_2$. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Пусть дан прямой параллелепипед, в основании которого лежит ромб. Обозначим сторону ромба как $a$, его диагонали как $d_1$ и $d_2$, а высоту параллелепипеда (которая равна длине бокового ребра) как $h$.

Поскольку параллелепипед прямой, его боковые ребра перпендикулярны основанию. Диагональные сечения такого параллелепипеда являются прямоугольниками. Одно сечение проходит через диагональ $d_1$ основания и два противолежащих боковых ребра, другое — через диагональ $d_2$ и два других боковых ребра.

Площади этих диагональных сечений, согласно условию, равны $S_1$ и $S_2$. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Таким образом, мы можем записать:
$S_1 = d_1 \cdot h$
$S_2 = d_2 \cdot h$

Из этих соотношений выразим длины диагоналей ромба через площади сечений и высоту параллелепипеда:
$d_1 = \frac{S_1}{h}$
$d_2 = \frac{S_2}{h}$

Для ромба справедливо свойство: сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на четыре. Это следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей (катеты $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$) и стороной ромба (гипотенуза $a$):
$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$
$a^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4}$
$4a^2 = d_1^2 + d_2^2$

Теперь подставим в это равенство выражения для $d_1$ и $d_2$:
$4a^2 = \left(\frac{S_1}{h}\right)^2 + \left(\frac{S_2}{h}\right)^2$
$4a^2 = \frac{S_1^2}{h^2} + \frac{S_2^2}{h^2}$
$4a^2 = \frac{S_1^2 + S_2^2}{h^2}$

Умножим обе части уравнения на $h^2$, чтобы избавиться от знаменателя:
$4a^2h^2 = S_1^2 + S_2^2$

Нам нужно найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, $S_{бок}$. Для прямого параллелепипеда она вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.
Периметр ромба со стороной $a$ равен $P_{осн} = 4a$.
Следовательно, площадь боковой поверхности равна $S_{бок} = 4ah$.

Чтобы найти $S_{бок}$, возведем выражение $4ah$ в квадрат:
$S_{бок}^2 = (4ah)^2 = 16a^2h^2$
Мы уже получили, что $4a^2h^2 = S_1^2 + S_2^2$. Подставим это в выражение для $S_{бок}^2$:
$S_{бок}^2 = 4 \cdot (4a^2h^2) = 4(S_1^2 + S_2^2)$

Наконец, извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти $S_{бок}$. Так как площадь не может быть отрицательной, берем положительное значение корня:
$S_{бок} = \sqrt{4(S_1^2 + S_2^2)} = 2\sqrt{S_1^2 + S_2^2}$

Ответ: $2\sqrt{S_1^2 + S_2^2}$