Номер 20.30, страница 219 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.30. В тетраэдре $DABC$ известно, что $AD = BC = 9$ см, $AC = BD = 10$ см, $AB = \sqrt{57}$ см и $CD = 7$ см. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$ необходимо найти длину их общего перпендикуляра. Обозначим искомое расстояние как $h$.

Рассмотрим данный тетраэдр $DABC$. Введем следующие обозначения для длин ребер: $AD = BC = a = 9$ см, $AC = BD = b = 10$ см, $AB = c = \sqrt{57}$ см, $CD = d = 7$ см.Заметим, что у тетраэдра две пары противоположных ребер равны ($AD=BC$ и $AC=BD$). Такие тетраэдры обладают особыми свойствами.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $CD$. Докажем, что отрезок $MN$ является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $CD$. Для этого нужно показать, что $MN \perp AB$ и $MN \perp CD$.

1. Докажем, что $MN \perp AB$.

Рассмотрим треугольники $ACD$ и $BCD$.Отрезок $AN$ является медианой в треугольнике $ACD$. Длину медианы можно найти по формуле:

$AN^2 = \frac{2AC^2 + 2AD^2 - CD^2}{4}$

Подставим известные значения:

$AN^2 = \frac{2 \cdot 10^2 + 2 \cdot 9^2 - 7^2}{4} = \frac{2 \cdot 100 + 2 \cdot 81 - 49}{4} = \frac{200 + 162 - 49}{4} = \frac{313}{4}$

Отрезок $BN$ является медианой в треугольнике $BCD$. Его длина вычисляется аналогично:

$BN^2 = \frac{2BC^2 + 2BD^2 - CD^2}{4}$

Подставим известные значения:

$BN^2 = \frac{2 \cdot 9^2 + 2 \cdot 10^2 - 7^2}{4} = \frac{2 \cdot 81 + 2 \cdot 100 - 49}{4} = \frac{162 + 200 - 49}{4} = \frac{313}{4}$

Так как $AN^2 = BN^2$, то $AN = BN$. Следовательно, треугольник $ANB$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Поскольку $M$ — середина $AB$, отрезок $MN$ является медианой треугольника $ANB$, проведенной к основанию. Таким образом, $MN \perp AB$.

2. Докажем, что $MN \perp CD$.

Воспользуемся векторным методом. Достаточно показать, что скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{CD}$ равно нулю.Выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы ребер тетраэдра. Известно, что для любых четырех точек $A, B, C, D$ справедливо равенство:$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$а также$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})$

Вектор $\vec{CD}$ можно выразить как $\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC}$.Найдем скалярное произведение $\vec{MN} \cdot \vec{CD}$:

$\vec{MN} \cdot \vec{CD} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD}) \cdot (\vec{AD} - \vec{AC})$

$\vec{MN} \cdot \vec{CD} = \frac{1}{2}(\vec{AC} \cdot \vec{AD} - AC^2 + \vec{BD} \cdot \vec{AD} - \vec{BD} \cdot \vec{AC})$

Скалярные произведения векторов ребер можно выразить через их длины с помощью теоремы косинусов. Например, из $\triangle ACD$ $CD^2 = AD^2 + AC^2 - 2(\vec{AD} \cdot \vec{AC})$, откуда $2(\vec{AD} \cdot \vec{AC}) = AD^2 + AC^2 - CD^2$.Для тетраэдра с $AD=BC$ и $AC=BD$ доказывается, что $MN \perp CD$.Проще доказать это, показав, что выполняется условие $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = AD^2 - AC^2$.Известна общая формула для тетраэдра: $2\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (AD^2+BC^2) - (AC^2+BD^2)$.В нашем случае $AD=BC=9$ и $AC=BD=10$, поэтому $2\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (9^2+9^2) - (10^2+10^2) = 162 - 200 = -38$.Отсюда $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -19$.$AD^2 - AC^2 = 9^2 - 10^2 = 81-100 = -19$.Так как $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = AD^2 - AC^2$, то для данного типа тетраэдра $MN \perp CD$.Таким образом, отрезок $MN$ является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $CD$.

3. Найдем длину $MN$.

Поскольку $MN \perp AB$, треугольник $AMN$ является прямоугольным с гипотенузой $AN$. По теореме Пифагора:

$MN^2 = AN^2 - AM^2$

Мы уже вычислили $AN^2 = \frac{313}{4}$.Найдем $AM^2$. Точка $M$ — середина $AB$, поэтому $AM = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{57}}{2}$.

$AM^2 = \left(\frac{\sqrt{57}}{2}\right)^2 = \frac{57}{4}$

Теперь можем вычислить $MN^2$:

$MN^2 = \frac{313}{4} - \frac{57}{4} = \frac{313-57}{4} = \frac{256}{4} = 64$

Отсюда находим длину $MN$:

$MN = \sqrt{64} = 8$ см.

Длина общего перпендикуляра $MN$ равна 8 см, следовательно, искомое расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно 8 см.

Ответ: 8 см.