Страница 219 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

20.30. В тетраэдре $DABC$ известно, что $AD = BC = 9$ см, $AC = BD = 10$ см, $AB = \sqrt{57}$ см и $CD = 7$ см. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$ необходимо найти длину их общего перпендикуляра. Обозначим искомое расстояние как $h$.

Рассмотрим данный тетраэдр $DABC$. Введем следующие обозначения для длин ребер: $AD = BC = a = 9$ см, $AC = BD = b = 10$ см, $AB = c = \sqrt{57}$ см, $CD = d = 7$ см.Заметим, что у тетраэдра две пары противоположных ребер равны ($AD=BC$ и $AC=BD$). Такие тетраэдры обладают особыми свойствами.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $CD$. Докажем, что отрезок $MN$ является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $CD$. Для этого нужно показать, что $MN \perp AB$ и $MN \perp CD$.

1. Докажем, что $MN \perp AB$.

Рассмотрим треугольники $ACD$ и $BCD$.Отрезок $AN$ является медианой в треугольнике $ACD$. Длину медианы можно найти по формуле:

$AN^2 = \frac{2AC^2 + 2AD^2 - CD^2}{4}$

Подставим известные значения:

$AN^2 = \frac{2 \cdot 10^2 + 2 \cdot 9^2 - 7^2}{4} = \frac{2 \cdot 100 + 2 \cdot 81 - 49}{4} = \frac{200 + 162 - 49}{4} = \frac{313}{4}$

Отрезок $BN$ является медианой в треугольнике $BCD$. Его длина вычисляется аналогично:

$BN^2 = \frac{2BC^2 + 2BD^2 - CD^2}{4}$

Подставим известные значения:

$BN^2 = \frac{2 \cdot 9^2 + 2 \cdot 10^2 - 7^2}{4} = \frac{2 \cdot 81 + 2 \cdot 100 - 49}{4} = \frac{162 + 200 - 49}{4} = \frac{313}{4}$

Так как $AN^2 = BN^2$, то $AN = BN$. Следовательно, треугольник $ANB$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Поскольку $M$ — середина $AB$, отрезок $MN$ является медианой треугольника $ANB$, проведенной к основанию. Таким образом, $MN \perp AB$.

2. Докажем, что $MN \perp CD$.

Воспользуемся векторным методом. Достаточно показать, что скалярное произведение векторов $\vec{MN}$ и $\vec{CD}$ равно нулю.Выразим вектор $\vec{MN}$ через векторы ребер тетраэдра. Известно, что для любых четырех точек $A, B, C, D$ справедливо равенство:$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$а также$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})$

Вектор $\vec{CD}$ можно выразить как $\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC}$.Найдем скалярное произведение $\vec{MN} \cdot \vec{CD}$:

$\vec{MN} \cdot \vec{CD} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD}) \cdot (\vec{AD} - \vec{AC})$

$\vec{MN} \cdot \vec{CD} = \frac{1}{2}(\vec{AC} \cdot \vec{AD} - AC^2 + \vec{BD} \cdot \vec{AD} - \vec{BD} \cdot \vec{AC})$

Скалярные произведения векторов ребер можно выразить через их длины с помощью теоремы косинусов. Например, из $\triangle ACD$ $CD^2 = AD^2 + AC^2 - 2(\vec{AD} \cdot \vec{AC})$, откуда $2(\vec{AD} \cdot \vec{AC}) = AD^2 + AC^2 - CD^2$.Для тетраэдра с $AD=BC$ и $AC=BD$ доказывается, что $MN \perp CD$.Проще доказать это, показав, что выполняется условие $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = AD^2 - AC^2$.Известна общая формула для тетраэдра: $2\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (AD^2+BC^2) - (AC^2+BD^2)$.В нашем случае $AD=BC=9$ и $AC=BD=10$, поэтому $2\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (9^2+9^2) - (10^2+10^2) = 162 - 200 = -38$.Отсюда $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = -19$.$AD^2 - AC^2 = 9^2 - 10^2 = 81-100 = -19$.Так как $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = AD^2 - AC^2$, то для данного типа тетраэдра $MN \perp CD$.Таким образом, отрезок $MN$ является общим перпендикуляром к прямым $AB$ и $CD$.

3. Найдем длину $MN$.

Поскольку $MN \perp AB$, треугольник $AMN$ является прямоугольным с гипотенузой $AN$. По теореме Пифагора:

$MN^2 = AN^2 - AM^2$

Мы уже вычислили $AN^2 = \frac{313}{4}$.Найдем $AM^2$. Точка $M$ — середина $AB$, поэтому $AM = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{57}}{2}$.

$AM^2 = \left(\frac{\sqrt{57}}{2}\right)^2 = \frac{57}{4}$

Теперь можем вычислить $MN^2$:

$MN^2 = \frac{313}{4} - \frac{57}{4} = \frac{313-57}{4} = \frac{256}{4} = 64$

Отсюда находим длину $MN$:

$MN = \sqrt{64} = 8$ см.

Длина общего перпендикуляра $MN$ равна 8 см, следовательно, искомое расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно 8 см.

Ответ: 8 см.

20.31. Дан квадрат $ABCD$. Построена окружность с центром в вершине $D$, проходящая через вершины $A$ и $C$. Через середину $M$ стороны $AB$ проведена касательная к этой окружности, пересекающая сторону $BC$ в точке $K$. Найдите отношение $BK : KC$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$.

По условию, построена окружность с центром в вершине $D$, проходящая через вершины $A$ и $C$. Поскольку $DA$ и $DC$ являются сторонами квадрата, их длины равны, $DA = DC = a$. Следовательно, радиус $R$ данной окружности равен стороне квадрата: $R = a$.

Так как $ABCD$ — квадрат, угол $\angle DAB = 90^\circ$. Это означает, что радиус $DA$ перпендикулярен стороне $AB$ в точке $A$. По определению касательной, прямая $AB$ является касательной к окружности в точке $A$.

Аналогично, угол $\angle DCB = 90^\circ$, поэтому радиус $DC$ перпендикулярен стороне $BC$ в точке $C$. Таким образом, прямая $BC$ является касательной к окружности в точке $C$.

Через середину $M$ стороны $AB$ проведена еще одна касательная к окружности, которая пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Пусть $T$ — точка касания этой прямой с окружностью.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны.

Для точки $M$, из которой проведены касательные к окружности, имеем отрезки $MA$ (на прямой $AB$) и $MT$ (на прямой $MK$). Следовательно, $MT = MA$. Так как $M$ — середина $AB$, то $MA = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$. Значит, $MT = \frac{a}{2}$.

Для точки $K$, из которой проведены касательные к окружности, имеем отрезки $KC$ (на прямой $BC$) и $KT$ (на прямой $MK$). Следовательно, $KT = KC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MBK$ (угол $\angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора, $MK^2 = MB^2 + BK^2$.

Выразим длины сторон этого треугольника:

• $MB = \frac{a}{2}$, так как $M$ — середина $AB$.
• Длина гипотенузы $MK$ равна сумме длин отрезков $MT$ и $KT$. Используя найденные равенства, получаем: $MK = MT + KT = MA + KC = \frac{a}{2} + KC$.

Точка $K$ лежит на стороне $BC$, поэтому $BC = BK + KC$. Отсюда $KC = BC - BK = a - BK$.Подставим это выражение для $KC$ в формулу для $MK$:$MK = \frac{a}{2} + (a - BK) = \frac{3a}{2} - BK$.

Теперь подставим выражения для сторон $MB$ и $MK$ в уравнение теоремы Пифагора:$(\frac{3a}{2} - BK)^2 = (\frac{a}{2})^2 + BK^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $BK$:$\frac{9a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a}{2} \cdot BK + BK^2 = \frac{a^2}{4} + BK^2$

Сократим $BK^2$ в обеих частях уравнения:$\frac{9a^2}{4} - 3a \cdot BK = \frac{a^2}{4}$

Выразим $3a \cdot BK$:$3a \cdot BK = \frac{9a^2}{4} - \frac{a^2}{4}$$3a \cdot BK = \frac{8a^2}{4}$$3a \cdot BK = 2a^2$

Поскольку $a \neq 0$, разделим обе части на $3a$:$BK = \frac{2a^2}{3a} = \frac{2a}{3}$

Теперь найдем длину отрезка $KC$:$KC = a - BK = a - \frac{2a}{3} = \frac{a}{3}$

Искомое отношение $BK : KC$ равно:$\frac{BK}{KC} = \frac{\frac{2a}{3}}{\frac{a}{3}} = 2$Таким образом, $BK : KC = 2:1$.

Ответ: $2:1$

20.32. Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а боковая сторона — 30 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = 20$ см, а боковые стороны $AB = BC = 30$ см.

Проведем биссектрису $AD$ из вершины угла при основании $A$ к стороне $BC$. Необходимо найти длину отрезка $AD$.

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. В нашем случае биссектриса $AD$ делит сторону $BC$ на отрезки $BD$ и $DC$.

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Подставим известные значения длин сторон:

$\frac{BD}{DC} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$

Это означает, что $BD = \frac{3}{2} DC$. Мы также знаем, что $BD + DC = BC = 30$ см. Составим и решим уравнение:

$\frac{3}{2} DC + DC = 30$

$\frac{5}{2} DC = 30$

$DC = 30 \cdot \frac{2}{5} = 12$ см

Теперь найдем длину отрезка $BD$:

$BD = 30 - DC = 30 - 12 = 18$ см

Длину биссектрисы можно найти по формуле:

$AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC$

Подставим все известные и найденные значения в формулу:

$AD^2 = 30 \cdot 20 - 18 \cdot 12$

$AD^2 = 600 - 216$

$AD^2 = 384$

Теперь найдем длину $AD$, извлекая квадратный корень:

$AD = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6}$ см.

Ответ: $8\sqrt{6}$ см.