Номер 21.3, страница 224 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.3. Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно $b$ и образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь диагонального сечения пирамиды, проходящего через большую диагональ основания.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$, где $S$ – вершина, а $ABCDEF$ – правильный шестиугольник в основании. Пусть $O$ – центр основания. Тогда $SO$ – высота пирамиды.

По условию, боковое ребро равно $b$. Возьмем ребро $SA$, значит $SA = b$. Угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания, – это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией бокового ребра $SA$ на плоскость основания является отрезок $OA$ (радиус описанной окружности основания). Таким образом, угол между $SA$ и плоскостью основания – это $\angle SAO = \beta$.

Требуется найти площадь диагонального сечения, проходящего через большую диагональ основания. Большая диагональ правильного шестиугольника соединяет противоположные вершины, например, $AD$. Искомое сечение – это треугольник $SAD$.

Поскольку $SO$ – высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Следовательно, $SO \perp AD$. Таким образом, $SO$ является высотой треугольника $SAD$. Площадь этого треугольника равна:$S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SO$

Найдем $SO$ и $AD$ из прямоугольного треугольника $SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$):Высота пирамиды $SO$ является катетом, противолежащим углу $\beta$:$SO = SA \cdot \sin(\angle SAO) = b \sin(\beta)$

Проекция бокового ребра $OA$ является катетом, прилежащим к углу $\beta$:$OA = SA \cdot \cos(\angle SAO) = b \cos(\beta)$

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне. Значит, сторона основания $a = OA = b \cos(\beta)$.Большая диагональ правильного шестиугольника равна удвоенной его стороне:$AD = 2a = 2b \cos(\beta)$

Теперь подставим найденные значения $SO$ и $AD$ в формулу площади сечения:$S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot (2b \cos(\beta)) \cdot (b \sin(\beta)) = b^2 \sin(\beta) \cos(\beta)$

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin(\beta)\cos(\beta) = \sin(2\beta)$, можно записать ответ в более компактном виде:$S_{SAD} = \frac{1}{2} b^2 (2\sin(\beta)\cos(\beta)) = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\beta)$

Ответ: $b^2 \sin(\beta) \cos(\beta)$ или $\frac{1}{2} b^2 \sin(2\beta)$.