Номер 21.4, страница 224 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.4. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $a$, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь диагонального сечения пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида. В её основании лежит квадрат со стороной $a$. Диагональное сечение этой пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диагональ квадрата, а высотой — высота самой пирамиды.

Площадь этого треугольника (диагонального сечения) можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h$, где $d$ — длина диагонали основания, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдём длину диагонали основания $d$.
Основанием является квадрат со стороной $a$. Его диагональ $d$ можно найти по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.
Отсюда $d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

2. Найдём высоту пирамиды $h$.
Угол $\alpha$ между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между самим ребром и его проекцией на основание. Проекцией бокового ребра на основание является половина диагонали квадрата, то есть отрезок длиной $\frac{d}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, половиной диагонали основания $\frac{d}{2}$ (это катеты) и боковым ребром (гипотенуза). Угол $\alpha$ в этом треугольнике прилежит к катету $\frac{d}{2}$. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета $h$ к прилежащему катету $\frac{d}{2}$:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{d}{2}}$

Выразим отсюда высоту $h$:

$h = \frac{d}{2} \cdot \tan(\alpha)$

Подставим найденное ранее значение $d = a\sqrt{2}$:

$h = \frac{a\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha)$

3. Вычислим площадь диагонального сечения $S$.
Теперь подставим значения $d$ и $h$ в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \left(\frac{a\sqrt{2}}{2} \tan(\alpha)\right)$

Упростим выражение:

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2 (\sqrt{2})^2}{2} \tan(\alpha) = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot 2 \cdot \tan(\alpha) = \frac{a^2}{2} \tan(\alpha)$

Ответ: $\frac{a^2}{2} \tan(\alpha)$.