gdz.top
Номер 20.29, страница 218 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков
Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М., Номировский Д. А.
Тип: Учебник
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: зелёный, салатовый
ISBN: 978-5-360 07805-0
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 4. Многогранники. Параграф 20. Параллелепипед - номер 20.29, страница 218.
№20.28
№20.29 (с. 218)
Условие. №20.29 (с. 218)
20.29. Ребро куба равно 1 см. Докажите, что сумма расстояний от любой точки пространства до его вершин не меньше, чем $4\sqrt{3}$ см.
Решение. №20.29 (с. 218)
Решение 2. №20.29 (с. 218)
Пусть ребро куба равно $a=1$ см. Введем декартову систему координат, поместив одну из вершин куба в начало координат $O(0, 0, 0)$, а ребра направив вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$. Тогда все 8 вершин куба будут иметь координаты, состоящие из нулей и единиц.
Рассмотрим 4 главные диагонали куба, которые соединяют пары противоположных вершин. Длина каждой главной диагонали куба с ребром $a=1$ равна $d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ см.
Пусть $P$ — произвольная точка в пространстве. Обозначим сумму расстояний от точки $P$ до всех восьми вершин куба как $S$. Нам нужно доказать, что $S \ge 4\sqrt{3}$.
Разобьем 8 вершин на 4 пары противоположных вершин. Пусть $(V_k, V'_k)$ — одна из таких пар, где $k=1, 2, 3, 4$. Для любой точки $P$ и любой такой пары вершин по неравенству треугольника справедливо: $|PV_k| + |PV'_k| \ge |V_k V'_k|$.
Поскольку $|V_k V'_k|$ — это длина главной диагонали, то для каждой из четырех пар вершин выполняется неравенство: $|PV_k| + |PV'_k| \ge \sqrt{3}$.
Сумма $S$ расстояний от точки $P$ до всех восьми вершин является суммой расстояний по всем четырем парам: $S = \sum_{k=1}^{4} (|PV_k| + |PV'_k|) = (|PV_1| + |PV'_1|) + (|PV_2| + |PV'_2|) + (|PV_3| + |PV'_3|) + (|PV_4| + |PV'_4|)$.
Сложив неравенства для всех четырех пар, получим итоговую оценку для суммы $S$: $S \ge \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
Таким образом, доказано, что сумма расстояний от любой точки пространства до вершин куба не меньше, чем $4\sqrt{3}$ см. Стоит отметить, что равенство достигается, когда точка $P$ совпадает с центром куба, так как в этом случае она лежит на отрезке, соединяющем каждую пару противоположных вершин.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 20.29 расположенного на странице 218 к учебнику 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №20.29 (с. 218), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), Номировский (Дмитрий Анатольевич), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.