Номер 21.50, страница 228 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

21.50. Каждое ребро тетраэдра равно 1 см. Найдите наибольшее возможное значение площади сечения данного тетраэдра плоскостью, параллельной двум его скрещивающимся рёбрам.

Пусть дан правильный тетраэдр $ABCD$, каждое ребро которого равно $a=1$ см. Рассмотрим сечение тетраэдра плоскостью $\pi$, параллельной двум его скрещивающимся рёбрам, например, $AB$ и $CD$.

Плоскость $\pi$ пересекает четыре других ребра тетраэдра: $AC$, $AD$, $BC$ и $BD$. Обозначим точки пересечения как $K$, $N$, $L$ и $M$ соответственно ($K \in AC$, $N \in AD$, $L \in BC$, $M \in BD$). Фигурой сечения является четырёхугольник $KNLM$.

Рассмотрим грань $ACD$. Так как плоскость сечения $\pi$ параллельна ребру $CD$, то линия её пересечения с плоскостью грани $ACD$, то есть отрезок $KN$, также параллельна $CD$ ($KN \parallel CD$).

Аналогично, рассматривая грань $BCD$, получаем, что $LM \parallel CD$.

Рассмотрим грань $ABC$. Так как плоскость $\pi$ параллельна ребру $AB$, то линия её пересечения с плоскостью грани $ABC$, то есть отрезок $KL$, параллельна $AB$ ($KL \parallel AB$).

Аналогично, из грани $ABD$ получаем, что $NM \parallel AB$.

Поскольку $KN \parallel LM$ (оба параллельны $CD$) и $KL \parallel NM$ (оба параллельны $AB$), сечение $KNLM$ является параллелограммом.

Угол между смежными сторонами параллелограмма, например $KN$ и $KL$, равен углу между прямыми, которым они параллельны, то есть между скрещивающимися рёбрами $CD$ и $AB$. В правильном тетраэдре скрещивающиеся рёбра перпендикулярны. Докажем это. Пусть $P$ — середина ребра $CD$. В равносторонних треугольниках $ACD$ и $BCD$ медианы $AP$ и $BP$ являются также и высотами, то есть $AP \perp CD$ и $BP \perp CD$. Это означает, что ребро $CD$ перпендикулярно плоскости $ABP$. Следовательно, $CD$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и ребру $AB$. Таким образом, $AB \perp CD$.

Поскольку $KN \parallel CD$ и $KL \parallel AB$, а $AB \perp CD$, то $KN \perp KL$. Следовательно, сечение $KNLM$ является прямоугольником.

Найдём площадь этого прямоугольника. Пусть положение секущей плоскости определяется точкой $K$ на ребре $AC$. Обозначим отношение длин отрезков $\frac{AK}{AC} = x$, где $x \in (0, 1)$.

Из подобия треугольников $\triangle AKN$ и $\triangle ACD$ (поскольку $KN \parallel CD$) следует:$$ \frac{KN}{CD} = \frac{AK}{AC} = x $$Так как $CD = a = 1$ см, получаем $KN = x \cdot a = x$.

Рассмотрим теперь сторону $KL$. Из подобия треугольников $\triangle CKL$ и $\triangle CAB$ (поскольку $KL \parallel AB$) следует:$$ \frac{KL}{AB} = \frac{CK}{CA} = \frac{CA - AK}{CA} = 1 - \frac{AK}{AC} = 1-x $$Так как $AB = a = 1$ см, получаем $KL = (1-x) \cdot a = 1-x$.

Площадь прямоугольника $KNLM$ равна произведению длин его сторон:$$ S(x) = KN \cdot KL = x(1-x) = -x^2 + x $$

Для нахождения наибольшего возможного значения площади нужно найти максимум функции $S(x) = -x^2 + x$ на интервале $(0, 1)$. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение достигается в вершине параболы, абсцисса которой находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.$$ x_0 = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} $$Это значение $x_0 = 1/2$ принадлежит интервалу $(0, 1)$.

Наибольшее значение площади равно значению функции в этой точке:$$ S_{max} = S\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$Таким образом, наибольшее возможное значение площади сечения равно $1/4$ см$^2$. Это сечение проходит через середины рёбер $AC, AD, BC, BD$ и является квадратом со стороной $1/2$ см.

Ответ: $1/4$ см$^2$.