Номер 22.6, страница 231 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.6. Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равны 15 см и 27 см, а боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол $30^\circ$. Найдите:

1) высоту пирамиды;

2) площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

1) высоту пирамиды;

Пусть $a_1$ и $a_2$ — стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды. По условию, $a_1 = 15$ см и $a_2 = 27$ см. Так как пирамида правильная, её основания — квадраты.

Для нахождения высоты $h$ рассмотрим диагональное сечение пирамиды. Это равнобокая трапеция, основаниями которой служат диагонали квадратов $d_1$ и $d_2$.

$d_1 = a_1\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$ см.
$d_2 = a_2\sqrt{2} = 27\sqrt{2}$ см.

Боковое ребро $l$, высота пирамиды $h$ и проекция бокового ребра на плоскость большего основания образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковым ребром и его проекцией (плоскостью основания) равен $30^\circ$ по условию.

Катет этого треугольника, лежащий на плоскости большего основания, равен полуразности диагоналей оснований:

$p = \frac{d_2 - d_1}{2} = \frac{27\sqrt{2} - 15\sqrt{2}}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Высота $h$ является вторым катетом этого прямоугольного треугольника. Её можно найти через тангенс данного угла:

$h = p \cdot \tan(30^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.

2) площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l_a$

где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l_a$ — апофема (высота боковой грани).

Сначала найдём периметры оснований:

$P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 15 = 60$ см.
$P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 27 = 108$ см.

Теперь найдём апофему $l_a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$, апофемой $l_a$ (в качестве гипотенузы) и отрезком на плоскости большего основания, соединяющим проекции концов апофемы (в качестве катета). Длина этого отрезка равна полуразности сторон оснований:

$q = \frac{a_2 - a_1}{2} = \frac{27 - 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

По теореме Пифагора:

$l_a^2 = h^2 + q^2$

$l_a = \sqrt{h^2 + q^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + 6^2} = \sqrt{24 + 36} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(60 + 108) \cdot 2\sqrt{15} = \frac{1}{2} \cdot 168 \cdot 2\sqrt{15} = 168\sqrt{15}$ см².

Ответ: $168\sqrt{15}$ см².