Номер 22.13, страница 232 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.13. Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна $H$. Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а диагональ пирамиды — угол $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная усечённая пирамида $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — нижнее (большее) основание, а $A_1B_1C_1D_1$ — верхнее (меньшее) основание. Основаниями являются квадраты. Пусть $a$ — сторона нижнего основания, $b$ — сторона верхнего основания. $O$ и $O_1$ — центры оснований, $OO_1 = H$ — высота пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле:$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$,где $P_1 = 4a$ и $P_2 = 4b$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).Таким образом, $S_{бок} = \frac{1}{2}(4a + 4b) \cdot h_a = 2(a+b)h_a$.Наша задача — выразить $a$, $b$ и $h_a$ через $H$, $\alpha$ и $\beta$.

1. Найдём сумму и разность сторон оснований.

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды $ACC_1A_1$. Это равнобокая трапеция. Её высота равна высоте пирамиды $H$. Диагонали оснований равны $d_1 = AC = a\sqrt{2}$ и $d_2 = A_1C_1 = b\sqrt{2}$.

Боковое ребро, например $A_1A$, образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Проекцией бокового ребра $A_1A$ на плоскость нижнего основания является отрезок $KA$, где $K$ — проекция точки $A_1$ на эту плоскость. В правильной усечённой пирамиде проекция отрезка $O_1A_1$ на плоскость нижнего основания — это отрезок $OA$, поэтому $KA$ лежит на диагонали $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $A_1A$, его проекцией $KA$ и высотой $A_1K=H$. Длина проекции $KA$ равна разности полудиагоналей оснований:$KA = OA - OK = OA - O_1A_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2} - \frac{b\sqrt{2}}{2} = \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2}$.Из этого прямоугольного треугольника имеем:$\text{ctg} \alpha = \frac{KA}{A_1K} = \frac{(a-b)\sqrt{2}}{2H}$.Отсюда выразим разность сторон:$a-b = \frac{2H \cdot \text{ctg} \alpha}{\sqrt{2}} = H\sqrt{2} \cdot \text{ctg} \alpha$.

Диагональ пирамиды, например $AC_1$, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией диагонали $AC_1$ на плоскость нижнего основания является отрезок $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю $AC_1$, её проекцией $AC$ и высотой $CC_1'$, где $C_1'$ - проекция точки $C_1$ на плоскость нижнего основания и $CC_1' = H$. Длина проекции $AC$ на самом деле неверна, проекцией будет отрезок $AL$, где $L$ - проекция $C_1$. Длина $AL$ равна сумме полудиагонали нижнего основания и проекции полудиагонали верхнего основания.$AL = AO + OL = AO + O_1C_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2} + \frac{b\sqrt{2}}{2} = \frac{(a+b)\sqrt{2}}{2}$.Из прямоугольного треугольника $AC_1L$ (где $C_1L = H$) имеем:$\text{ctg} \beta = \frac{AL}{C_1L} = \frac{(a+b)\sqrt{2}}{2H}$.Отсюда выразим сумму сторон:$a+b = \frac{2H \cdot \text{ctg} \beta}{\sqrt{2}} = H\sqrt{2} \cdot \text{ctg} \beta$.

2. Найдём апофему.

Апофема $h_a$ — это высота боковой грани. Рассмотрим сечение, проходящее через апофемы противоположных боковых граней и высоту пирамиды. Это сечение является равнобокой трапецией. Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $CD$ и $AB$ нижнего основания, а $M_1$ и $N_1$ — середины сторон $C_1D_1$ и $A_1B_1$ верхнего. Тогда $M_1M$ — апофема $h_a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой $h_a$, высотой $H$ и отрезком, равным разности полусторон оснований. Длина этого отрезка равна:$OM - O_1M_1 = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a-b}{2}$.По теореме Пифагора:$h_a^2 = H^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$.Подставим ранее найденное выражение для $a-b$:$h_a^2 = H^2 + \left(\frac{H\sqrt{2} \cdot \text{ctg} \alpha}{2}\right)^2 = H^2 + \frac{2H^2 \cdot \text{ctg}^2 \alpha}{4} = H^2 \left(1 + \frac{\text{ctg}^2 \alpha}{2}\right) = H^2 \frac{2+\text{ctg}^2 \alpha}{2}$.Следовательно, апофема равна:$h_a = H \sqrt{\frac{2+\text{ctg}^2 \alpha}{2}} = H \frac{\sqrt{2+\text{ctg}^2 \alpha}}{\sqrt{2}}$.

3. Вычислим площадь боковой поверхности.

Теперь подставим найденные выражения для $(a+b)$ и $h_a$ в формулу площади боковой поверхности:$S_{бок} = 2(a+b)h_a = 2 \cdot (H\sqrt{2} \cdot \text{ctg} \beta) \cdot \left(H \frac{\sqrt{2+\text{ctg}^2 \alpha}}{\sqrt{2}}\right)$.Сокращая $\sqrt{2}$, получаем:$S_{бок} = 2H^2 \cdot \text{ctg} \beta \cdot \sqrt{2+\text{ctg}^2 \alpha}$.

Ответ: $2H^2 \text{ctg} \beta \sqrt{2+\text{ctg}^2 \alpha}$.