Номер 22.17, страница 232 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

22.17. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ угол между плоскостями $BDD_1$ и $CDB_1$ равен $\alpha$.

Найдите отношение площадей четырёхугольников $BB_1D_1D$ и $DA_1B_1C$.

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Это означает, что её основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ являются квадратами, а отрезок, соединяющий их центры, перпендикулярен плоскостям оснований. Введём систему координат. Поместим центр нижнего основания $ABCD$ в начало координат $O(0,0,0)$. Пусть оси $Ox$ и $Oy$ проходят через середины сторон квадрата $ABCD$. Пусть высота усечённой пирамиды равна $h$, тогда центр верхнего основания $O_1$ имеет координаты $(0,0,h)$.

Пусть сторона нижнего основания $ABCD$ равна $2a$, а сторона верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$ равна $2b$. Тогда координаты вершин будут следующими:

$A(a,a,0), B(-a,a,0), C(-a,-a,0), D(a,-a,0)$

$A_1(b,b,h), B_1(-b,b,h), C_1(-b,-b,h), D_1(b,-b,h)$

Найдём площади указанных четырёхугольников.

1. Площадь четырёхугольника $BB_1D_1D$.

Этот четырёхугольник является диагональным сечением пирамиды. Его вершины имеют координаты: $B(-a,a,0), B_1(-b,b,h), D_1(b,-b,h), D(a,-a,0)$. Основаниями этого сечения являются диагонали квадратов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

Длина диагонали нижнего основания $BD = \sqrt{(a-(-a))^2 + (-a-a)^2 + 0^2} = \sqrt{(2a)^2 + (-2a)^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}$.

Длина диагонали верхнего основания $B_1D_1 = \sqrt{(b-(-b))^2 + (-b-b)^2 + 0^2} = \sqrt{(2b)^2 + (-2b)^2} = \sqrt{8b^2} = 2b\sqrt{2}$.

Поскольку диагональное сечение проходит через высоту пирамиды $OO_1$, его высота равна $h$. $BB_1D_1D$ — равнобокая трапеция. Её площадь равна:

$S_{BB_1D_1D} = \frac{BD + B_1D_1}{2} \cdot h = \frac{2a\sqrt{2} + 2b\sqrt{2}}{2} \cdot h = \sqrt{2}(a+b)h$.

2. Площадь четырёхугольника $DA_1B_1C$.

Вершины этого четырёхугольника: $D(a,-a,0), A_1(b,b,h), B_1(-b,b,h), C(-a,-a,0)$.

Отрезки $CD$ и $A_1B_1$ параллельны, так как они лежат в параллельных плоскостях $z=0$ и $z=h$ и параллельны оси $Ox$. Значит, $DA_1B_1C$ — трапеция.

Длина основания $CD = \sqrt{(a-(-a))^2 + (-a-(-a))^2 + 0^2} = \sqrt{(2a)^2} = 2a$.

Длина основания $A_1B_1 = \sqrt{(-b-b)^2 + (b-b)^2 + 0^2} = \sqrt{(-2b)^2} = 2b$.

Найдём длины боковых сторон $DA_1$ и $CB_1$:

$DA_1^2 = (b-a)^2 + (b-(-a))^2 + h^2 = (b-a)^2 + (b+a)^2 + h^2 = 2a^2 + 2b^2 + h^2$.

$CB_1^2 = (-b-(-a))^2 + (b-(-a))^2 + h^2 = (a-b)^2 + (a+b)^2 + h^2 = 2a^2 + 2b^2 + h^2$.

Так как $DA_1=CB_1$, трапеция является равнобокой. Высоту трапеции можно найти как расстояние между прямыми $CD$ и $A_1B_1$. Найдём её как длину отрезка, соединяющего середины оснований. Середина $CD$ — точка $M(0,-a,0)$. Середина $A_1B_1$ — точка $N(0,b,h)$. Высота трапеции $h_{tr}$ равна:

$h_{tr} = |MN| = \sqrt{(0-0)^2 + (b-(-a))^2 + (h-0)^2} = \sqrt{(a+b)^2 + h^2}$.

Площадь трапеции $DA_1B_1C$:

$S_{DA_1B_1C} = \frac{CD + A_1B_1}{2} \cdot h_{tr} = \frac{2a + 2b}{2} \sqrt{(a+b)^2 + h^2} = (a+b)\sqrt{(a+b)^2 + h^2}$.

3. Угол между плоскостями $BDD_1$ и $CDB_1$.

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Найдём нормальные векторы к плоскостям.

Плоскость $BDD_1$ проходит через точки $B(-a,a,0), D(a,-a,0), D_1(b,-b,h)$. Её уравнение $x+y=0$. Нормальный вектор $\vec{n_1} = (1,1,0)$.

Плоскость $CDB_1$ проходит через точки $C(-a,-a,0), D(a,-a,0), B_1(-b,b,h)$. Найдём её нормальный вектор $\vec{n_2}$ как векторное произведение векторов $\vec{DC}$ и $\vec{DB_1}$.

$\vec{DC} = C-D = (-2a,0,0)$.

$\vec{DB_1} = B_1-D = (-b-a, b-(-a), h) = (-(a+b), a+b, h)$.

$\vec{n_2'} = \vec{DC} \times \vec{DB_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2a & 0 & 0 \\ -(a+b) & a+b & h \end{vmatrix} = 0 \cdot \vec{i} - (-2ah)\vec{j} + (-2a(a+b))\vec{k} = (0, 2ah, -2a(a+b))$.

В качестве нормального вектора можно взять коллинеарный ему вектор $\vec{n_2} = (0, h, -(a+b))$.

Косинус угла $\alpha$ между плоскостями:

$\cos\alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||} = \frac{|1\cdot0 + 1\cdot h + 0\cdot(-(a+b))|}{\sqrt{1^2+1^2+0^2} \cdot \sqrt{0^2+h^2+(-(a+b))^2}} = \frac{h}{\sqrt{2}\sqrt{h^2+(a+b)^2}}$.

4. Отношение площадей.

Найдём искомое отношение площадей:

$\frac{S_{BB_1D_1D}}{S_{DA_1B_1C}} = \frac{\sqrt{2}(a+b)h}{(a+b)\sqrt{(a+b)^2+h^2}} = \frac{\sqrt{2}h}{\sqrt{h^2+(a+b)^2}}$.

Теперь выразим это отношение через $\cos\alpha$. Из формулы для косинуса угла $\alpha$ имеем:

$\frac{h}{\sqrt{h^2+(a+b)^2}} = \sqrt{2}\cos\alpha$.

Подставим это выражение в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_{BB_1D_1D}}{S_{DA_1B_1C}} = \sqrt{2} \cdot \left(\frac{h}{\sqrt{h^2+(a+b)^2}}\right) = \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2}\cos\alpha) = 2\cos\alpha$.

Ответ: $2\cos\alpha$.