Номер 23.4, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.4. Высоты тетраэдра $DABC$, проведённые из вершин $A$ и $D$, пересекаются. Докажите, что высоты, проведённые из вершин $B$ и $C$, тоже пересекаются.

Пусть $h_A$, $h_B$, $h_C$, $h_D$ — высоты тетраэдра $DABC$, проведенные из вершин $A, B, C, D$ соответственно.

1. Условие пересечения высот

Докажем, что высоты, проведенные из двух вершин тетраэдра, пересекаются тогда и только тогда, когда ребро, соединяющее эти вершины, перпендикулярно противоположному ребру.

Рассмотрим высоты $h_A$ и $h_D$.

Прямое утверждение: Пусть $h_A$ и $h_D$ пересекаются. Это означает, что они лежат в одной плоскости $\Pi$. Так как $A \in h_A$ и $D \in h_D$, то ребро $AD$ также лежит в плоскости $\Pi$.По определению, высота $h_A$ перпендикулярна плоскости грани $DBC$, следовательно, $h_A \perp BC$. Аналогично, $h_D \perp \text{пл.}(ABC)$, следовательно, $h_D \perp BC$.Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($h_A$ и $h_D$) в плоскости $\Pi$, то $BC$ перпендикулярна всей плоскости $\Pi$. А так как ребро $AD$ лежит в этой плоскости, то $BC \perp AD$.

Обратное утверждение: Пусть $BC \perp AD$.Рассмотрим плоскость $\Sigma$, проходящую через ребро $AD$ и перпендикулярную ребру $BC$. Такая плоскость единственна, поскольку $AD \perp BC$.Высота $h_A$ перпендикулярна плоскости $DBC$, а значит, и прямой $BC$. Так как $h_A$ проходит через точку $A$, она целиком лежит в плоскости $\Sigma$.Аналогично, высота $h_D$ перпендикулярна плоскости $ABC$, а значит, и прямой $BC$. Так как $h_D$ проходит через точку $D$, она также целиком лежит в плоскости $\Sigma$.Таким образом, высоты $h_A$ и $h_D$ лежат в одной плоскости $\Sigma$. Они не параллельны, так как перпендикулярны непараллельным плоскостям $DBC$ и $ABC$ (эти плоскости пересекаются по ребру $BC$). Следовательно, прямые $h_A$ и $h_D$ пересекаются.

Итак, мы доказали эквивалентность: высоты $h_A$ и $h_D$ пересекаются $\iff AD \perp BC$.

2. Решение задачи

По условию задачи, высоты $h_A$ и $h_D$ пересекаются. Из доказанной в пункте 1 эквивалентности следует, что $AD \perp BC$.

Нам нужно доказать, что высоты $h_B$ и $h_C$ тоже пересекаются.Применяя ту же самую эквивалентность для вершин $B$ и $C$, получаем, что высоты $h_B$ и $h_C$ пересекаются тогда и только тогда, когда ребро $BC$ перпендикулярно противоположному ему ребру $AD$, то есть $BC \perp AD$.

Поскольку отношение перпендикулярности прямых в пространстве симметрично ($AD \perp BC \iff BC \perp AD$), то из условия пересечения высот $h_A$ и $h_D$ напрямую следует условие пересечения высот $h_B$ и $h_C$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.