Номер 23.7, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.7. В тетраэдре основанием одной из высот является ортоцентр грани, к которой она проведена. Докажите, что данный тетраэдр является ортоцентрическим.

Пусть дан тетраэдр $DABC$. Пусть $DH$ — высота тетраэдра, опущенная из вершины $D$ на грань $ABC$. По условию задачи, основание высоты, точка $H$, является ортоцентром треугольника $ABC$.

Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты пересекаются в одной точке. Существует несколько эквивалентных определений ортоцентрического тетраэдра. Одно из них, наиболее удобное для данного доказательства, гласит: тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда его противоположные (скрещивающиеся) рёбра попарно перпендикулярны.

Для тетраэдра $DABC$ нам необходимо доказать следующие три условия:
1) $AD \perp BC$
2) $BD \perp AC$
3) $CD \perp AB$

Доказательство:

Рассмотрим первую пару рёбер $AD$ и $BC$.По определению высоты тетраэдра, $DH$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$. Это означает, что прямая $DH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $DH \perp BC$.

Поскольку точка $H$ является ортоцентром треугольника $ABC$, она является точкой пересечения его высот. Следовательно, прямая, проходящая через вершины $A$ и $H$, является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$. Таким образом, $AH \perp BC$.

Итак, мы имеем, что прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $H$ прямым — $DH$ и $AH$. Эти две прямые определяют плоскость $(ADH)$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Следовательно, $BC \perp (ADH)$.

Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(ADH)$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Ребро тетраэдра $AD$ лежит в плоскости $(ADH)$, так как проходит через точки $A$ и $D$. Отсюда следует, что $AD \perp BC$.

Аналогичным образом доказывается перпендикулярность двух других пар скрещивающихся рёбер.

Для пары рёбер $BD$ и $AC$:
Из $DH \perp (ABC)$ следует $DH \perp AC$.
Так как $H$ — ортоцентр $\triangle ABC$, то $BH \perp AC$.
Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DH$ и $BH$, следовательно, $AC \perp (BDH)$.
Ребро $BD$ лежит в плоскости $(BDH)$, поэтому $BD \perp AC$.

Для пары рёбер $CD$ и $AB$:
Из $DH \perp (ABC)$ следует $DH \perp AB$.
Так как $H$ — ортоцентр $\triangle ABC$, то $CH \perp AB$.
Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $DH$ и $CH$, следовательно, $AB \perp (CDH)$.
Ребро $CD$ лежит в плоскости $(CDH)$, поэтому $CD \perp AB$.

Мы доказали, что все три пары скрещивающихся рёбер тетраэдра попарно перпендикулярны. Таким образом, по определению, данный тетраэдр является ортоцентрическим.

Ответ: Что и требовалось доказать.