Номер 23.13, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.13. На рёбрах $AC$, $AD$, $BD$ и $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили соответственно точки $M$, $N$, $K$ и $F$ так, что $CM : MA = 4 : 1$, $AN : ND = 3 : 5$, $BK : KD = 6 : 1$ и $BF : FC = 5 : 2$. Докажите, что точки $M$, $N$, $K$ и $F$ принадлежат одной плоскости.

Для доказательства того, что точки M, N, K и F лежат в одной плоскости, воспользуемся векторным методом. Четыре точки являются компланарными, если три вектора, с общим началом в одной из этих точек и концами в трех других, являются компланарными (линейно зависимыми).

Введем векторный базис, связанный с вершинами тетраэдра. Примем вершину D за начало координат. Обозначим векторы, исходящие из вершины D к трем другим вершинам, следующим образом: $ \vec{DA} = \vec{a} $, $ \vec{DB} = \vec{b} $, $ \vec{DC} = \vec{c} $. Так как DABC — тетраэдр, векторы $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ и $ \vec{c} $ некомпланарны и могут быть приняты за базис в пространстве.

Выразим радиус-векторы точек M, N, K и F в этом базисе.

1. Точка M лежит на ребре AC и делит его в отношении $ CM : MA = 4 : 1 $. Ее радиус-вектор $ \vec{DM} $ (обозначим его $ \vec{m} $) находится по формуле деления отрезка в заданном отношении:
$ \vec{m} = \frac{1 \cdot \vec{DC} + 4 \cdot \vec{DA}}{1 + 4} = \frac{4}{5}\vec{DA} + \frac{1}{5}\vec{DC} = \frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{c} $.

2. Точка N лежит на ребре AD и делит его в отношении $ AN : ND = 3 : 5 $. Следовательно, $ DN : NA = 5 : 3 $. Радиус-вектор $ \vec{DN} $ (обозначим $ \vec{n} $) равен:
$ \vec{n} = \frac{5}{5 + 3}\vec{DA} = \frac{5}{8}\vec{a} $.

3. Точка K лежит на ребре BD и делит его в отношении $ BK : KD = 6 : 1 $. Следовательно, $ DK : KB = 1 : 6 $. Радиус-вектор $ \vec{DK} $ (обозначим $ \vec{k} $) равен:
$ \vec{k} = \frac{1}{1 + 6}\vec{DB} = \frac{1}{7}\vec{b} $.

4. Точка F лежит на ребре BC и делит его в отношении $ BF : FC = 5 : 2 $. Ее радиус-вектор $ \vec{DF} $ (обозначим $ \vec{f} $) равен:
$ \vec{f} = \frac{2 \cdot \vec{DB} + 5 \cdot \vec{DC}}{2 + 5} = \frac{2}{7}\vec{DB} + \frac{5}{7}\vec{DC} = \frac{2}{7}\vec{b} + \frac{5}{7}\vec{c} $.

Теперь рассмотрим три вектора с общим началом в точке N: $ \vec{NM} $, $ \vec{NK} $ и $ \vec{NF} $.
$ \vec{NM} = \vec{m} - \vec{n} = (\frac{4}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{c}) - \frac{5}{8}\vec{a} = (\frac{32 - 25}{40})\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{c} = \frac{7}{40}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{c} $
$ \vec{NK} = \vec{k} - \vec{n} = \frac{1}{7}\vec{b} - \frac{5}{8}\vec{a} $
$ \vec{NF} = \vec{f} - \vec{n} = (\frac{2}{7}\vec{b} + \frac{5}{7}\vec{c}) - \frac{5}{8}\vec{a} = -\frac{5}{8}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b} + \frac{5}{7}\vec{c} $

Точки M, N, K, F лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы $ \vec{NM} $, $ \vec{NK} $ и $ \vec{NF} $ линейно зависимы. Это означает, что существуют такие числа $ x $ и $ y $, что выполняется равенство $ \vec{NF} = x \cdot \vec{NM} + y \cdot \vec{NK} $.

Подставим векторные выражения в это равенство:
$ -\frac{5}{8}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b} + \frac{5}{7}\vec{c} = x(\frac{7}{40}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{c}) + y(-\frac{5}{8}\vec{a} + \frac{1}{7}\vec{b}) $

Сгруппируем слагаемые при базисных векторах $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ и $ \vec{c} $:
$ -\frac{5}{8}\vec{a} + \frac{2}{7}\vec{b} + \frac{5}{7}\vec{c} = (\frac{7x}{40} - \frac{5y}{8})\vec{a} + \frac{y}{7}\vec{b} + \frac{x}{5}\vec{c} $

Поскольку векторы $ \vec{a} $, $ \vec{b} $, $ \vec{c} $ линейно независимы, мы можем приравнять коэффициенты при них в левой и правой частях уравнения, что дает систему из трех уравнений:
1) При $ \vec{a} $: $ -\frac{5}{8} = \frac{7x}{40} - \frac{5y}{8} $
2) При $ \vec{b} $: $ \frac{2}{7} = \frac{y}{7} $
3) При $ \vec{c} $: $ \frac{5}{7} = \frac{x}{5} $

Из второго уравнения находим $ y $: $ y = 2 $.
Из третьего уравнения находим $ x $: $ x = \frac{25}{7} $.
Подставим найденные значения $ x $ и $ y $ в первое уравнение для проверки:
$ -\frac{5}{8} = \frac{7}{40} \cdot (\frac{25}{7}) - \frac{5 \cdot 2}{8} $
$ -\frac{5}{8} = \frac{25}{40} - \frac{10}{8} $
$ -\frac{5}{8} = \frac{5}{8} - \frac{10}{8} $
$ -\frac{5}{8} = -\frac{5}{8} $

Равенство верное. Это означает, что система уравнений имеет решение. Следовательно, вектор $ \vec{NF} $ является линейной комбинацией векторов $ \vec{NM} $ и $ \vec{NK} $. Это доказывает, что векторы $ \vec{NM}, \vec{NK}, \vec{NF} $ компланарны, а значит, точки M, N, K и F лежат в одной плоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.