Номер 23.20, страница 242 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.20. Докажите, что медианы равногранного тетраэдра равны.

Рассмотрим равногранный тетраэдр $ABCD$. По определению, все его грани являются равными треугольниками. Отсюда следует, что противолежащие ребра тетраэдра попарно равны. Обозначим длины ребер следующим образом: $AB = CD = c$, $AC = BD = b$, $AD = BC = a$.

Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противолежащей грани. Обозначим медианы, проведенные из вершин $A, B, C, D$, как $m_A, m_B, m_C, m_D$ соответственно.

Для доказательства равенства медиан воспользуемся общей формулой для квадрата длины медианы тетраэдра. Квадрат длины медианы $m_V$, проведенной из вершины $V$ к грани, образованной вершинами $V_1, V_2, V_3$, выражается через длины ребер: $m_V^2 = \frac{VV_1^2 + VV_2^2 + VV_3^2}{3} - \frac{V_1V_2^2 + V_2V_3^2 + V_3V_1^2}{9}$.

Найдем квадрат длины медианы $m_D$, проведенной из вершины $D$ к грани $ABC$. В этом случае $V=D, V_1=A, V_2=B, V_3=C$. Длины ребер, выходящих из вершины $D$, равны $DA=a, DB=b, DC=c$. Длины ребер грани $ABC$ равны $AB=c, BC=a, AC=b$.

Подставляя эти значения в формулу, получаем: $m_D^2 = \frac{DA^2 + DB^2 + DC^2}{3} - \frac{AB^2 + BC^2 + AC^2}{9} = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} - \frac{c^2 + a^2 + b^2}{9}$.

Приводя к общему знаменателю, находим: $m_D^2 = \frac{3(a^2 + b^2 + c^2) - (a^2 + b^2 + c^2)}{9} = \frac{2(a^2 + b^2 + c^2)}{9}$.

Теперь найдем квадрат длины медианы $m_A$, проведенной из вершины $A$ к грани $BCD$. Длины ребер, выходящих из вершины $A$, равны $AB=c, AC=b, AD=a$. Длины ребер грани $BCD$ равны $BC=a, CD=c, BD=b$.

Подставляя эти значения в формулу, получаем: $m_A^2 = \frac{AB^2 + AC^2 + AD^2}{3} - \frac{BC^2 + CD^2 + BD^2}{9} = \frac{c^2 + b^2 + a^2}{3} - \frac{a^2 + c^2 + b^2}{9}$.

Это выражение идентично выражению для $m_D^2$: $m_A^2 = \frac{2(a^2 + b^2 + c^2)}{9}$.

Аналогичные вычисления для медиан $m_B$ и $m_C$ дадут тот же результат, поскольку в равногранном тетраэдре для любой вершины набор длин ребер, выходящих из нее $\{a,b,c\}$, совпадает с набором длин ребер противолежащей грани.

Таким образом, квадраты длин всех четырех медиан равны: $m_A^2 = m_B^2 = m_C^2 = m_D^2 = \frac{2(a^2 + b^2 + c^2)}{9}$.

Следовательно, и сами длины медиан равны, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство медиан равногранного тетраэдра доказано. Все они равны $\frac{\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)}}{3}$.