Номер 23.17, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.17. Докажите, что если в тетраэдре $DABC$ выполняются равенства $DA^2 + BC^2 = DB^2 + AC^2 = DC^2 + AB^2$, то такой тетраэдр является ортоцентрическим.

Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (перпендикуляры, опущенные из вершин на противоположные грани) пересекаются в одной точке. Критерием ортоцентричности тетраэдра является попарная перпендикулярность его скрещивающихся (противоположных) рёбер. В тетраэдре $DABC$ скрещивающимися являются рёбра $(DA, BC)$, $(DB, AC)$ и $(DC, AB)$. Таким образом, для доказательства нам необходимо показать, что $DA \perp BC$, $DB \perp AC$ и $DC \perp AB$.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Поместим вершину $D$ в начало координат. Тогда векторы, идущие из вершины $D$ к остальным вершинам, будут их радиус-векторами: $\vec{DA} = \vec{a}$, $\vec{DB} = \vec{b}$, $\vec{DC} = \vec{c}$. Векторы, соответствующие остальным рёбрам, выражаются через них: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$, $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$.

Квадрат длины любого ребра равен скалярному квадрату соответствующего вектора. Запишем данные в условии равенства в векторном виде.

Рассмотрим первое равенство: $DA^2 + BC^2 = DB^2 + AC^2$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{c} - \vec{b}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{c} - \vec{a}|^2$
$|\vec{a}|^2 + (|\vec{c}|^2 - 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) + |\vec{b}|^2) = |\vec{b}|^2 + (|\vec{c}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + |\vec{a}|^2)$
После сокращения одинаковых слагаемых $(|\vec{a}|^2, |\vec{b}|^2, |\vec{c}|^2)$ в обеих частях уравнения, получим:
$-2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = -2(\vec{a} \cdot \vec{c})$
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c}$
$\vec{c} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$
Так как $\vec{c} = \vec{DC}$ и $\vec{b} - \vec{a} = \vec{AB}$, то $\vec{DC} \cdot \vec{AB} = 0$. Это означает, что рёбра $DC$ и $AB$ перпендикулярны.

Рассмотрим второе равенство: $DB^2 + AC^2 = DC^2 + AB^2$.
$|\vec{b}|^2 + |\vec{c} - \vec{a}|^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{b} - \vec{a}|^2$
$|\vec{b}|^2 + (|\vec{c}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + |\vec{a}|^2) = |\vec{c}|^2 + (|\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2)$
После сокращения получаем:
$-2(\vec{a} \cdot \vec{c}) = -2(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$
$\vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$
Так как $\vec{a} = \vec{DA}$ и $\vec{c} - \vec{b} = \vec{BC}$, то $\vec{DA} \cdot \vec{BC} = 0$. Это означает, что рёбра $DA$ и $BC$ перпендикулярны.

Мы доказали перпендикулярность двух пар скрещивающихся рёбер. Для доказательства перпендикулярности третьей пары $(DB, AC)$ воспользуемся полученными результатами. Из первого равенства мы вывели, что $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$. Из второго — что $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$. Следовательно, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$.
Рассмотрим скалярное произведение векторов $\vec{DB}$ и $\vec{AC}$:
$\vec{DB} \cdot \vec{AC} = \vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a}$
Поскольку мы установили, что $\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ (что то же самое, что $\vec{b} \cdot \vec{a}$), их разность равна нулю:
$\vec{DB} \cdot \vec{AC} = 0$.
Следовательно, рёбра $DB$ и $AC$ также перпендикулярны.

Таким образом, все три пары скрещивающихся рёбер тетраэдра $DABC$ попарно перпендикулярны. Это является необходимым и достаточным условием ортоцентричности тетраэдра.

Ответ: Так как из условия $DA^2 + BC^2 = DB^2 + AC^2 = DC^2 + AB^2$ следует, что скрещивающиеся рёбра тетраэдра попарно перпендикулярны ($DA \perp BC$, $DB \perp AC$, $DC \perp AB$), то такой тетраэдр является ортоцентрическим. Что и требовалось доказать.