Номер 23.18, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.18. Докажите, что в равногранном тетраэдре средние линии попарно перпендикулярны.

Пусть $ABCD$ — равногранный тетраэдр. Равногранным называется тетраэдр, у которого все четыре грани являются равными между собой треугольниками. Важным свойством такого тетраэдра является равенство длин его противоположных (скрещивающихся) ребер: $AB = CD$, $AC = BD$ и $AD = BC$.

Средними линиями тетраэдра (также называемыми бимедианами) называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся ребер. Пусть $K, L, M, N, P, Q$ — середины ребер $AB, CD, AC, BD, AD, BC$ соответственно. Тогда средние линии нашего тетраэдра — это отрезки $KL$, $MN$ и $PQ$.

Требуется доказать, что эти три отрезка попарно перпендикулярны. Для доказательства построим вспомогательные четырехугольники, сторонами которых являются средние линии граней тетраэдра.

1. Докажем перпендикулярность $KL$ и $MN$. Рассмотрим четырехугольник $KNLM$. В треугольнике $\triangle ABD$ отрезок $KN$ является средней линией. По свойству средней линии, $KN$ параллельна стороне $AD$ и равна ее половине: $KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD$. Аналогично, в треугольнике $\triangle ACD$ отрезок $ML$ является средней линией, поэтому $ML \parallel AD$ и $ML = \frac{1}{2}AD$. Поскольку отрезки $KN$ и $ML$ параллельны одной и той же прямой $AD$ и равны по длине, они параллельны и равны между собой. Следовательно, четырехугольник $KNLM$ является параллелограммом (по признаку: две противоположные стороны равны и параллельны). Отрезки $KL$ и $MN$ — это диагонали параллелограмма $KNLM$. Диагонали параллелограмма перпендикулярны тогда и только тогда, когда он является ромбом. Для этого необходимо, чтобы смежные стороны параллелограмма были равны, например, $KN = NL$. Мы уже знаем, что $KN = \frac{1}{2}AD$. Найдем длину $NL$. Отрезок $NL$ является средней линией в треугольнике $\triangle BCD$. Следовательно, $NL \parallel BC$ и $NL = \frac{1}{2}BC$. Таким образом, условие $KN = NL$ эквивалентно условию $AD = BC$. Поскольку тетраэдр $ABCD$ равногранный, это равенство выполняется. Значит, $KNLM$ — ромб, и его диагонали $KL$ и $MN$ перпендикулярны.

2. Докажем перпендикулярность $MN$ и $PQ$. Аналогично рассмотрим четырехугольник $MPNQ$. $MP$ — средняя линия $\triangle ADC$, поэтому $MP \parallel CD$ и $MP = \frac{1}{2}CD$. $QN$ — средняя линия $\triangle BCD$, поэтому $QN \parallel CD$ и $QN = \frac{1}{2}CD$. Следовательно, $MPNQ$ — параллелограмм. Его диагонали — $MN$ и $PQ$. Чтобы диагонали были перпендикулярны, параллелограмм должен быть ромбом, то есть его смежные стороны должны быть равны: $MP = PN$. $PN$ — средняя линия $\triangle ABD$, поэтому $PN \parallel AB$ и $PN = \frac{1}{2}AB$. Условие $MP = PN$ равносильно условию $\frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AB$, или $CD = AB$. Это условие выполняется для равногранного тетраэдра. Значит, $MPNQ$ — ромб, и его диагонали $MN \perp PQ$.

3. Докажем перпендикулярность $PQ$ и $KL$. Рассмотрим четырехугольник $KPLQ$. $KP$ — средняя линия $\triangle ABD$, поэтому $KP \parallel BD$ и $KP = \frac{1}{2}BD$. $QL$ — средняя линия $\triangle BCD$, поэтому $QL \parallel BD$ и $QL = \frac{1}{2}BD$. Следовательно, $KPLQ$ — параллелограмм, диагоналями которого являются $KL$ и $PQ$. Чтобы диагонали были перпендикулярны, $KPLQ$ должен быть ромбом, то есть $KP = PL$. $PL$ — средняя линия $\triangle ACD$, поэтому $PL \parallel AC$ и $PL = \frac{1}{2}AC$. Условие $KP = PL$ равносильно условию $\frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC$, или $BD = AC$. Это условие выполняется для равногранного тетраэдра. Значит, $KPLQ$ — ромб, и его диагонали $PQ \perp KL$.

Таким образом, мы доказали, что все три средние линии равногранного тетраэдра попарно перпендикулярны.

Ответ: Утверждение доказано.