Номер 23.16, страница 241 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.16. Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре $DABC$ выполняются равенства $DA^2 + BC^2 = DB^2 + AC^2 = DC^2 + AB^2$.

Ортоцентрическим тетраэдром называется тетраэдр, у которого все четыре высоты пересекаются в одной точке. Ключевым свойством ортоцентрического тетраэдра, эквивалентным его определению, является то, что его противоположные (скрещивающиеся) ребра попарно перпендикулярны.

Для тетраэдра $DABC$ это означает выполнение следующих условий:

1. $DA \perp BC$
2. $DB \perp AC$
3. $DC \perp AB$

Для доказательства равенств воспользуемся векторным методом. Введем векторы, исходящие из вершины $D$:

$\vec{DA} = \vec{a}, \vec{DB} = \vec{b}, \vec{DC} = \vec{c}$

Тогда векторы, соответствующие остальным ребрам тетраэдра, выражаются через них:

$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$

$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$

Запишем условия перпендикулярности противоположных ребер в виде равенства нулю их скалярных произведений:

1. $DA \perp BC \implies \vec{DA} \cdot \vec{BC} = 0 \implies \vec{a} \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b}$
2. $DB \perp AC \implies \vec{DB} \cdot \vec{AC} = 0 \implies \vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
3. $DC \perp AB \implies \vec{DC} \cdot \vec{AB} = 0 \implies \vec{c} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{a}$

Из этих трех соотношений следует, что скалярные произведения пар векторов, исходящих из вершины $D$, равны между собой:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$

Теперь выразим квадраты длин ребер через скалярные квадраты соответствующих векторов:

$DA^2 = |\vec{DA}|^2 = |\vec{a}|^2$

$BC^2 = |\vec{BC}|^2 = |\vec{c} - \vec{b}|^2 = (\vec{c} - \vec{b}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = |\vec{c}|^2 - 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) + |\vec{b}|^2$

$DB^2 = |\vec{DB}|^2 = |\vec{b}|^2$

$AC^2 = |\vec{AC}|^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2 = (\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = |\vec{c}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + |\vec{a}|^2$

$DC^2 = |\vec{DC}|^2 = |\vec{c}|^2$

$AB^2 = |\vec{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2$

Вычислим суммы квадратов длин противоположных ребер:

1. $DA^2 + BC^2 = |\vec{a}|^2 + (|\vec{c}|^2 - 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) + |\vec{b}|^2) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{b} \cdot \vec{c})$
2. $DB^2 + AC^2 = |\vec{b}|^2 + (|\vec{c}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + |\vec{a}|^2) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{c})$
3. $DC^2 + AB^2 = |\vec{c}|^2 + (|\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Так как мы установили, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$, все три полученные суммы равны друг другу.

Следовательно, в ортоцентрическом тетраэдре $DABC$ выполняется равенство $DA^2 + BC^2 = DB^2 + AC^2 = DC^2 + AB^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В ортоцентрическом тетраэдре суммы квадратов длин противоположных ребер равны: $DA^2 + BC^2 = DB^2 + AC^2 = DC^2 + AB^2$.