Номер 23.21, страница 242 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.21. Докажите, что центроид равногранного тетраэдра равноудалён от всех его вершин.

Равногранный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все четыре грани являются конгруэнтными (равными) треугольниками. Одним из ключевых свойств равногранного тетраэдра является то, что его противоположные рёбра попарно равны. Пусть дан равногранный тетраэдр $ABCD$. Это означает, что $AB = CD$, $AC = BD$ и $AD = BC$.

Центроид (или центр масс) тетраэдра — это точка пересечения его медиан. Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину с центроидом противоположной грани. Если вершины тетраэдра заданы радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, то радиус-вектор центроида $G$ равен $\vec{g} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d})$.

Нам нужно доказать, что центроид $G$ равноудалён от всех вершин, то есть $GA = GB = GC = GD$.

Для доказательства мы покажем, что у равногранного тетраэдра центроид совпадает с центром описанной сферы (циркумцентром). Центр описанной сферы по определению равноудалён от всех вершин тетраэдра.

Пусть $O$ — центр описанной сферы тетраэдра $ABCD$. Поместим начало системы координат в точку $O$. Тогда по определению центра описанной сферы, расстояния от $O$ до всех вершин равны радиусу $R$ этой сферы. В векторной форме это означает:$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = R$.

Теперь используем свойство равногранного тетраэдра о равенстве противоположных рёбер. Запишем эти равенства в векторной форме:$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{d} - \vec{c}|^2$$|\vec{c} - \vec{a}|^2 = |\vec{d} - \vec{b}|^2$$|\vec{d} - \vec{a}|^2 = |\vec{c} - \vec{b}|^2$

Раскроем скалярные квадраты, например, для первого равенства:$|\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2 = |\vec{d}|^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{d}) + |\vec{c}|^2$Поскольку $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = R$, получаем:$R^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + R^2 = R^2 - 2(\vec{c} \cdot \vec{d}) + R^2$Отсюда следует, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{d}$.

Аналогично, из двух других равенств длин рёбер получаем:$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{d}$$\vec{a} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c}$

Теперь докажем, что центроид $G$ совпадает с центром описанной сферы $O$. Поскольку мы поместили $O$ в начало координат, нам нужно показать, что радиус-вектор центроида $\vec{g}$ равен нулевому вектору:$\vec{g} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = \vec{0}$.Для этого достаточно доказать, что сумма векторов $\vec{S} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}$ равна $\vec{0}$.

Чтобы доказать, что вектор $\vec{S}$ является нулевым, мы покажем, что он ортогонален трём линейно независимым векторам. Рассмотрим скалярное произведение вектора $\vec{S}$ на векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$.$\vec{S} \cdot \vec{a} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{d} \cdot \vec{a} = R^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{d}$.

$\vec{S} \cdot \vec{b} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 + \vec{c} \cdot \vec{b} + \vec{d} \cdot \vec{b} = R^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{b} + \vec{d} \cdot \vec{b}$.Используя выведенные ранее соотношения $\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{d}$ и $\vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{c}$, получаем:$\vec{S} \cdot \vec{b} = R^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{c}$.Сравнивая выражения для $\vec{S} \cdot \vec{a}$ и $\vec{S} \cdot \vec{b}$, видим, что они равны: $\vec{S} \cdot \vec{a} = \vec{S} \cdot \vec{b}$.

Аналогично можно показать, что $\vec{S} \cdot \vec{a} = \vec{S} \cdot \vec{c}$ и $\vec{S} \cdot \vec{a} = \vec{S} \cdot \vec{d}$.Таким образом, $\vec{S} \cdot \vec{a} = \vec{S} \cdot \vec{b} = \vec{S} \cdot \vec{c} = \vec{S} \cdot \vec{d}$.

Из этих равенств следует:$\vec{S} \cdot \vec{a} - \vec{S} \cdot \vec{b} = \vec{S} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$.$\vec{S} \cdot \vec{a} - \vec{S} \cdot \vec{c} = \vec{S} \cdot (\vec{a} - \vec{c}) = 0$.$\vec{S} \cdot \vec{a} - \vec{S} \cdot \vec{d} = \vec{S} \cdot (\vec{a} - \vec{d}) = 0$.

Векторы $\vec{a} - \vec{b} = \vec{BA}$, $\vec{a} - \vec{c} = \vec{CA}$ и $\vec{a} - \vec{d} = \vec{DA}$ — это векторы, идущие по рёбрам тетраэдра из вершин $B, C, D$ в вершину $A$. Так как $A, B, C, D$ — вершины тетраэдра, они не лежат в одной плоскости, и, следовательно, эти три вектора не компланарны (линейно независимы) и образуют базис в трёхмерном пространстве.

Если вектор $\vec{S}$ ортогонален трём линейно независимым векторам, то он может быть только нулевым вектором. Следовательно, $\vec{S} = \vec{0}$.

Итак, мы доказали, что $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$. Это означает, что радиус-вектор центроида $\vec{g} = \frac{1}{4} \cdot \vec{0} = \vec{0}$. То есть центроид $G$ совпадает с началом координат, которое мы выбрали в центре описанной сферы $O$.

Поскольку центр описанной сферы по определению равноудалён от всех вершин тетраэдра, то и центроид равноудалён от всех его вершин.

Ответ: Что и требовалось доказать.