Номер 23.27, страница 242 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.27. Точки $D$ и $P$ принадлежат соответственно рёбрам $B_1C_1$ и $A_1C_1$ треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$. Точки $K$ и $M$ принадлежат отрезкам $CB_1$ и $CA_1$ соответственно. Известно, что $C_1D : DB_1 = 1 : 4$, $A_1P : PC_1 = 5 : 2$, $A_1M : MC = 3 : 4$, $B_1K : KC = 6 : 5$. Докажите, что точки $D, P, K$ и $M$ принадлежат одной плоскости.

Для доказательства того, что точки $D$, $P$, $K$ и $M$ лежат в одной плоскости, воспользуемся векторным методом.Введем систему координат с началом в точке $C$ и базисными векторами $\vec{CA} = \vec{a}$, $\vec{CB} = \vec{b}$ и $\vec{CC_1} = \vec{c}$. Поскольку $ABCA_1B_1C_1$ — призма, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ некомпланарны.

Выразим радиус-векторы вершин призмы относительно точки $C$:

• $\vec{CA} = \vec{a}$
• $\vec{CB} = \vec{b}$
• $\vec{CC_1} = \vec{c}$
• $\vec{CA_1} = \vec{CA} + \vec{AA_1} = \vec{a} + \vec{c}$
• $\vec{CB_1} = \vec{CB} + \vec{BB_1} = \vec{b} + \vec{c}$

Теперь найдем радиус-векторы точек $D, P, K, M$ согласно условиям задачи.

1. Точка D
Точка $D$ принадлежит ребру $B_1C_1$ и делит его в отношении $C_1D : DB_1 = 1 : 4$. Используя формулу деления отрезка в данном отношении, получаем:$\vec{CD} = \frac{4\vec{CC_1} + 1\vec{CB_1}}{1+4} = \frac{4\vec{c} + (\vec{b}+\vec{c})}{5} = \frac{5\vec{c} + \vec{b}}{5} = \vec{c} + \frac{1}{5}\vec{b}$.

2. Точка P
Точка $P$ принадлежит ребру $A_1C_1$ и делит его в отношении $A_1P : PC_1 = 5 : 2$.$\vec{CP} = \frac{2\vec{CA_1} + 5\vec{CC_1}}{5+2} = \frac{2(\vec{a}+\vec{c}) + 5\vec{c}}{7} = \frac{2\vec{a} + 2\vec{c} + 5\vec{c}}{7} = \frac{2\vec{a} + 7\vec{c}}{7} = \vec{c} + \frac{2}{7}\vec{a}$.

3. Точка K
Точка $K$ принадлежит отрезку $CB_1$ и делит его в отношении $B_1K : KC = 6 : 5$.$\vec{CK} = \frac{5}{6+5}\vec{CB_1} = \frac{5}{11}(\vec{b}+\vec{c})$.

4. Точка M
Точка $M$ принадлежит отрезку $CA_1$ и делит его в отношении $A_1M : MC = 3 : 4$.$\vec{CM} = \frac{4}{3+4}\vec{CA_1} = \frac{4}{7}(\vec{a}+\vec{c})$.

Точки $D, P, K, M$ лежат в одной плоскости, если векторы, соединяющие одну из этих точек (например, $K$) с тремя другими, компланарны. Найдем эти векторы: $\vec{KD}$, $\vec{KP}$ и $\vec{KM}$.

$\vec{KD} = \vec{CD} - \vec{CK} = (\vec{c} + \frac{1}{5}\vec{b}) - \frac{5}{11}(\vec{b}+\vec{c}) = (\frac{1}{5} - \frac{5}{11})\vec{b} + (1 - \frac{5}{11})\vec{c} = \frac{11-25}{55}\vec{b} + \frac{6}{11}\vec{c} = -\frac{14}{55}\vec{b} + \frac{6}{11}\vec{c}$.

$\vec{KP} = \vec{CP} - \vec{CK} = (\vec{c} + \frac{2}{7}\vec{a}) - \frac{5}{11}(\vec{b}+\vec{c}) = \frac{2}{7}\vec{a} - \frac{5}{11}\vec{b} + (1 - \frac{5}{11})\vec{c} = \frac{2}{7}\vec{a} - \frac{5}{11}\vec{b} + \frac{6}{11}\vec{c}$.

$\vec{KM} = \vec{CM} - \vec{CK} = \frac{4}{7}(\vec{a}+\vec{c}) - \frac{5}{11}(\vec{b}+\vec{c}) = \frac{4}{7}\vec{a} - \frac{5}{11}\vec{b} + (\frac{4}{7} - \frac{5}{11})\vec{c} = \frac{4}{7}\vec{a} - \frac{5}{11}\vec{b} + \frac{44-35}{77}\vec{c} = \frac{4}{7}\vec{a} - \frac{5}{11}\vec{b} + \frac{9}{77}\vec{c}$.

Для того чтобы векторы были компланарны, один из них должен быть линейной комбинацией двух других. Проверим, существуют ли такие числа $x$ и $y$, что $\vec{KM} = x \cdot \vec{KD} + y \cdot \vec{KP}$.

$\frac{4}{7}\vec{a} - \frac{5}{11}\vec{b} + \frac{9}{77}\vec{c} = x(-\frac{14}{55}\vec{b} + \frac{6}{11}\vec{c}) + y(\frac{2}{7}\vec{a} - \frac{5}{11}\vec{b} + \frac{6}{11}\vec{c})$

$\frac{4}{7}\vec{a} - \frac{5}{11}\vec{b} + \frac{9}{77}\vec{c} = (\frac{2y}{7})\vec{a} + (-\frac{14x}{55} - \frac{5y}{11})\vec{b} + (\frac{6x}{11} + \frac{6y}{11})\vec{c}$

Поскольку векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ некомпланарны, мы можем приравнять коэффициенты при них:

$\begin{cases} \frac{2y}{7} = \frac{4}{7} \\ -\frac{14x}{55} - \frac{5y}{11} = -\frac{5}{11} \\ \frac{6x}{11} + \frac{6y}{11} = \frac{9}{77} \end{cases}$

Из первого уравнения находим $y$:$2y = 4 \implies y = 2$.

Подставим $y=2$ в третье уравнение, чтобы найти $x$:$\frac{6x}{11} + \frac{6 \cdot 2}{11} = \frac{9}{77}$
$\frac{6x+12}{11} = \frac{9}{77}$
$7(6x+12) = 9$
$42x + 84 = 9$
$42x = -75$
$x = -\frac{75}{42} = -\frac{25}{14}$.

Теперь подставим найденные $x = -\frac{25}{14}$ и $y=2$ во второе уравнение для проверки:$-\frac{14}{55}(-\frac{25}{14}) - \frac{5 \cdot 2}{11} = \frac{25}{55} - \frac{10}{11} = \frac{5}{11} - \frac{10}{11} = -\frac{5}{11}$.Левая часть равна правой, значит, система имеет решение.

Так как существуют такие числа $x$ и $y$, что $\vec{KM} = x \cdot \vec{KD} + y \cdot \vec{KP}$, векторы $\vec{KD}, \vec{KP}, \vec{KM}$ компланарны. Следовательно, точки $D, P, K, M$ лежат в одной плоскости.Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.