Номер 23.24, страница 242 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.24. Докажите, что сумма косинусов двугранных углов равногранного тетраэдра при его рёбрах равна 2.

Рассмотрим равногранный тетраэдр. По определению, равногранный тетраэдр — это тетраэдр, все четыре грани которого являются конгруэнтными треугольниками. Следовательно, площади всех четырёх граней равны. Обозначим эту площадь как $S$.

Пусть $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3, \vec{e}_4$ — единичные векторы, перпендикулярные граням тетраэдра и направленные во внешнюю сторону.

Для любого замкнутого многогранника, если его грани имеют площади $S_1, S_2, \ldots, S_N$, а $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \ldots, \vec{e}_N$ — соответствующие внешние единичные нормали, то выполняется векторное равенство $\sum_{i=1}^{N} S_i \vec{e}_i = \vec{0}$. Для равногранного тетраэдра все $S_i = S$, поэтому:$$ S\vec{e}_1 + S\vec{e}_2 + S\vec{e}_3 + S\vec{e}_4 = \vec{0} $$Разделив на $S$, получаем, что сумма единичных векторов нормалей равна нулю:$$ \vec{e}_1 + \vec{e}_2 + \vec{e}_3 + \vec{e}_4 = \vec{0} $$

Двугранный угол $\alpha_{ij}$ между гранями $i$ и $j$ связан с углом между их внешними нормалями $\vec{e}_i$ и $\vec{e}_j$. Угол между векторами $\vec{e}_i$ и $\vec{e}_j$ равен $\pi - \alpha_{ij}$. Отсюда следует, что косинус двугранного угла выражается через скалярное произведение единичных нормалей:$$ \cos(\alpha_{ij}) = \cos(\pi - (\text{угол между } \vec{e}_i \text{ и } \vec{e}_j)) = -\cos(\text{угол между } \vec{e}_i \text{ и } \vec{e}_j) = -\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j $$

Тетраэдр имеет 6 рёбер и, соответственно, 6 двугранных углов. Сумма их косинусов равна:$$ \Sigma = \cos(\alpha_{12}) + \cos(\alpha_{13}) + \cos(\alpha_{14}) + \cos(\alpha_{23}) + \cos(\alpha_{24}) + \cos(\alpha_{34}) $$Используя полученную формулу, имеем:$$ \Sigma = -(\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 + \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 + \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_4 + \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 + \vec{e}_2 \cdot \vec{e}_4 + \vec{e}_3 \cdot \vec{e}_4) = -\sum_{1 \le i < j \le 4} \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j $$

Возведём равенство $\vec{e}_1 + \vec{e}_2 + \vec{e}_3 + \vec{e}_4 = \vec{0}$ в скалярный квадрат:$$ |\vec{e}_1 + \vec{e}_2 + \vec{e}_3 + \vec{e}_4|^2 = 0 $$$$ (\vec{e}_1 + \vec{e}_2 + \vec{e}_3 + \vec{e}_4) \cdot (\vec{e}_1 + \vec{e}_2 + \vec{e}_3 + \vec{e}_4) = 0 $$Раскрывая скобки, получаем:$$ \sum_{i=1}^{4} |\vec{e}_i|^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le 4} (\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j) = 0 $$

Поскольку $\vec{e}_i$ — единичные векторы, то $|\vec{e}_i|^2 = 1$. Сумма их квадратов равна 4:$$ 4 + 2 \sum_{1 \le i < j \le 4} (\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j) = 0 $$Отсюда находим сумму скалярных произведений:$$ \sum_{1 \le i < j \le 4} (\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j) = -2 $$

Подставляя это значение в выражение для суммы косинусов, получаем искомый результат:$$ \Sigma = - \left( \sum_{1 \le i < j \le 4} \vec{e}_i \cdot \vec{e}_j \right) = -(-2) = 2 $$Таким образом, доказано, что сумма косинусов двугранных углов равногранного тетраэдра при его рёбрах равна 2.

Ответ: 2.