Номер 23.28, страница 242 - гдз по геометрии 10 класс учебник Мерзляк, Поляков

23.28. Тетраэдр $DABC$ пересечён плоскостью так, что в сечении получился четырёхугольник. Какое наименьшее значение может принимать периметр этого четырёхугольника, если $AD = BC = a$, $BD = AC = b$, $AB = CD = c$?

Данный тетраэдр $DABC$ является равногранным (или равногранным тетраэдром), так как его противоположные ребра попарно равны: $AD = BC = a$, $BD = AC = b$, $AB = CD = c$. Все четыре грани такого тетраэдра — равные между собой треугольники со сторонами $a$, $b$, $c$.

Известно, что наименьший периметр четырёхугольного сечения равногранного тетраэдра равен удвоенному расстоянию между одной из пар скрещивающихся рёбер. Такое сечение является плоским, и его граница представляет собой кратчайшую замкнутую геодезическую линию на поверхности тетраэдра, разделяющую вершины на две пары.

В равногранном тетраэдре отрезки, соединяющие середины скрещивающихся рёбер (бимедианы), взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке, которая является центром описанной и вписанной сфер, а также центром тяжести тетраэдра. Длины этих отрезков равны расстояниям между соответствующими рёбрами.

Для нахождения этих расстояний введём систему координат. Пусть центр тетраэдра находится в начале координат $O(0,0,0)$, а оси координат направлены вдоль трёх взаимно перпендикулярных бимедиан. Пусть длины половин бимедиан равны $l, m, n$. Тогда вершины тетраэдра можно задать координатами:$A = (n, m, l)$, $B = (-n, -m, l)$, $C = (-n, m, -l)$, $D = (n, -m, -l)$.

Найдём квадраты длин рёбер тетраэдра:

• $AD^2 = (n-n)^2 + (m-(-m))^2 + (l-(-l))^2 = (2m)^2 + (2l)^2 = 4m^2+4l^2$.
• $BC^2 = (-n-(-n))^2 + (m-(-m))^2 + (-l-l)^2 = (2m)^2 + (-2l)^2 = 4m^2+4l^2$.

Следовательно, $a^2 = 4(l^2+m^2)$.

• $AC^2 = (n-(-n))^2 + (m-m)^2 + (l-(-l))^2 = (2n)^2 + (2l)^2 = 4n^2+4l^2$.
• $BD^2 = (-n-n)^2 + (-m-(-m))^2 + (l-(-l))^2 = (-2n)^2 + (2l)^2 = 4n^2+4l^2$.

Следовательно, $b^2 = 4(l^2+n^2)$.

• $AB^2 = (n-(-n))^2 + (m-(-m))^2 + (l-l)^2 = (2n)^2 + (2m)^2 = 4n^2+4m^2$.
• $CD^2 = (-n-n)^2 + (m-(-m))^2 + (-l-(-l))^2 = (-2n)^2 + (-2m)^2 = 4n^2+4m^2$.

Следовательно, $c^2 = 4(n^2+m^2)$.

Расстояния между скрещивающимися рёбрами равны длинам соответствующих бимедиан:

• $d(AD, BC) = 2n$ (расстояние между рёбрами длиной $a$)
• $d(AC, BD) = 2m$ (расстояние между рёбрами длиной $b$)
• $d(AB, CD) = 2l$ (расстояние между рёбрами длиной $c$)

Возможные значения для минимального периметра $P$ равны удвоенным этим расстояниям: $P_1 = 2d(AB, CD) = 4l$, $P_2 = 2d(AC, BD) = 4m$, $P_3 = 2d(AD, BC) = 4n$.Чтобы найти $l, m, n$, решим систему уравнений:

$l^2+m^2 = \frac{a^2}{4}$
$l^2+n^2 = \frac{b^2}{4}$
$m^2+n^2 = \frac{c^2}{4}$

Складывая все три уравнения, получаем: $2(l^2+m^2+n^2) = \frac{a^2+b^2+c^2}{4}$, откуда $l^2+m^2+n^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{8}$.Теперь выразим $l^2, m^2, n^2$:

$l^2 = (l^2+m^2+n^2) - (m^2+n^2) = \frac{a^2+b^2+c^2}{8} - \frac{c^2}{4} = \frac{a^2+b^2-c^2}{8}$

$m^2 = (l^2+m^2+n^2) - (l^2+n^2) = \frac{a^2+b^2+c^2}{8} - \frac{b^2}{4} = \frac{a^2-b^2+c^2}{8}$

$n^2 = (l^2+m^2+n^2) - (l^2+m^2) = \frac{a^2+b^2+c^2}{8} - \frac{a^2}{4} = \frac{-a^2+b^2+c^2}{8}$

Теперь мы можем найти три возможных значения для минимального периметра:

$P_1 = 4l = 4\sqrt{\frac{a^2+b^2-c^2}{8}} = \sqrt{16 \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{8}} = \sqrt{2(a^2+b^2-c^2)}$

$P_2 = 4m = 4\sqrt{\frac{a^2-b^2+c^2}{8}} = \sqrt{16 \cdot \frac{a^2-b^2+c^2}{8}} = \sqrt{2(a^2-b^2+c^2)}$

$P_3 = 4n = 4\sqrt{\frac{-a^2+b^2+c^2}{8}} = \sqrt{16 \cdot \frac{-a^2+b^2+c^2}{8}} = \sqrt{2(-a^2+b^2+c^2)}$

Существование тетраэдра гарантирует, что выражения под корнями неотрицательны. Наименьшее значение периметра будет минимальным из этих трёх величин.

Ответ: Наименьшее значение периметра равно $\min\left(\sqrt{2(a^2+b^2-c^2)}, \sqrt{2(a^2-b^2+c^2)}, \sqrt{2(-a^2+b^2+c^2)}\right)$.